合成積

質問

合成積を用いた問題がわかりません

sの2乗/(sの二乗+4)の二乗

上の関数のラプラス逆変換を合成積を用いて求めよという問題がわかりません

s^2/(s^2+4)^2=s/(s^2+4)*s/(s^2+4)

L^(-1)[s/(s^2+4)*s/(s^2+4)]=cos2t*cos2t

ここまで計算したのですがこのあとどうすればいいのかわかりません

解説をお願いします

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

積は「・」を使い、畳み込みの「*」と区別し混用しないこと。

s^2/(s^2+4)^2=(s/(s^2+4))・(s/(s^2+4))

L^(-1)[s/(s^2+4)]=cos(2t) であるから

L^(-1)[s/(s^2+4)・s/(s^2+4)]=cos2t*cos2t　←　畳み込み(Convolution)
=∫(0,t)cos(2(t-τ))cos(2τ)dτ
=(1/2)∫(0,t){cos(2t)+cos(4τ-2t)}dτ
=(1/2)[τcos(2t)+(1/4)sin(4τ-2t)][0,t]
=(1/2)tcos(2t)+(1/4)sin(2t)