※ ChatGPTを利用し、要約された質問です（原文：高校数学）
高校数学の問題: 実数の不等式を証明する
このQ&Aのポイント
0<a<1のとき、負でない実数x(1), x(2), x(3), …, x(n)に対して、不等式{x(1)+x(2)+…+x(n)}^a≦x(1)^a+x(2)^a+…x(n)^aを証明します。
この問題では、数学的帰納法を用いて不等式が成り立つことを示します。n=1の場合は明らかに成り立ち、n=kの場合も成り立つと仮定します。そして、n=k+1の場合を考えると、固定されたx(k+1)に対して不等式を示す関数f(X)を定義します。
f(X)の微分を考えると、f'(X)=aX^(a-1)-a{X+x(k+1)}^(a-1)となります。ここで、X≦X+x(k+1)であるため、X^(a-1)≧{X+x(k+1)}^(a-1)となります。そして、aX^(a-1)≧a{X+x(k+1)}^(a-1)という不等式も成り立つことから、f'(X)≧0となります。そのため、f(X)≧0となり、不等式が成り立つことが証明されます。全ての自然数nについて不等式が成り立つことが示されました。
0<a<1のとき, 負でない実数x(1), x(2), x(3), …, x(n)に対して
{x(1)+x(2)+…+x(n)}^a≦x(1)^a+x(2)^a+…x(n)^a
であることを証明せよ .
{x(1)+x(2)+…+x(n)}^a≦x(1)^a+x(2)^a+…x(n)^aー(※)
これを数学的帰納法により示す.
(i)n=1のとき(※)は明らかに成り立つ.
(ii)n=2,3,…kのとき(※)が成り立つと仮定する.
n=k+1のとき,
x(1)^a+x(2)^a+…x(k)^a+x(k+1)^a-{x(1)+x(2)+…+x(k)+x(k+1)}^a≧{x(1)+x(2)+…+x(k)}^a+x(k+1)^a-{x(1)+x(2)+…+x(k)+x(k+1)}^a=X^a+x(k+1)^a-{X+x(k+1)}^a
(x(1)+x(2)+…+x(k)=Xとした)
x(k+1)を固定して,これをf(X)とおくと,
f'(X)=aX^(a-1)-a{X+x(k+1)}^(a-1)
x(k+1)≧0より,
X≦X+x(k+1)
⇔ X^(a-1)≧{X+x(k+1)}^(a-1) (∵a-1<0)
⇔aX^(a-1)≧a{X+x(k+1)}^(a-1) (∵0<a<1)
∴ f'(X)≧0
f(0)=0より, f(X)≧0
∴ x(1)^a+x(2)^a+…x(k)^a+x(k+1)^a≧{x(1)+x(2)+…+x(k)+x(k+1)}^a
∴n×k+1のとき(※)は成立.
∴全ての自然数nについて(※)は成立.
添削お願いします.
