(n-1)!! /n!! は０に収束しますか。

質問

タイトル通りです。

回答No.1

sunflower-san · ベストアンサー

n!!=n(n-2)(n-4)・・
のことですか？そうだとすると。(n-1)!!/n!!は0に収束します。

まずn=2m, 偶数のとき、

(n-1)!!/n!!
=((2m-1)/(2m))・((2m-3)/(2m-2))・((2m-5)/(2m-4))・・1/2
=(1-1/(2m))(1-1/(2m-2))・・(1-1/2)

全ての実数tについて成り立つ不等式
1+t ≦ e^t
を使うと、

(1-1/(2m))(1-1/(2m-2))・・(1-1/2)
≦e^(-1/2m) e^(-1/(2m-2))・・e^(-1/2)
=e^(-(1/2)(1/m+1/(m-1)+・・+1/1))　(※)

いま、1/x の積分で和Σ(1/k)を評価すると、

∫[1～m+1](1/x) dx ≦Σ[k=1..m] (1/k)
ただし、左辺はxが1からm+1までの定積分、右辺はkが1からmまでの和を表すものとします。

左辺の積分は計算出来て、
∫[1～m+1](1/x) dx = log(m+1)となるので
(-1/2)Σ[k=1..m] (1/k) ≦ -(1/2)log(m+1)=log(1/√(m+1))
を指数の肩に乗せて、(※)の不等式と合わせると、

(2m-1)!!/(2m)!!≦e^(-(1/2)(1/m+1/(m-1)+・・+1/1))≦ 1/√(m+1)

を得ます。
こうして、評価式：(2m-1)!!/(2m)!!≦1/√(m+1)
が得られたので、m→∞のとき、(2m-1)!!/(2m)!!が0に収束することが分かります。

次に、n=2m-1, 奇数のとき、

(n-1)!!/n!!
=(2m-2)!!/(2m-1)!!
=(1-1/(2m-1)) (1-1/(2m-3))・・(1-1/3)

ですが、k=m,m-1,..,1に対して、(1-1/(2k-1))≦(1-1/2k) であるので、
(1-1/(2m-1)) (1-1/(2m-3))・・(1-1/3)
≦(1-1/(2m))(1-1/(2m-2))・・(1-1/4)
=2 (1-1/(2m))(1-1/(2m-2))・・(1-1/4)(1-1/2)
=2 (2m-1)!!/(2m)!!
となります。
そこでさっきの評価式：(2m-1)!!/(2m)!!≦1/√(m+1)を用いると、

(2m-2)!!/(2m-1)!!≦2/√(m+1)
が得られ、m→∞のとき、(2m-2)!!/(2m-1)!!が0に収束することが分かります。

よってnの偶奇に関わらずn→∞のとき、(n-1)!!/n!!は0に収束することが分かります。

お礼

丁寧な画像とともにありがとうございます。
助かりました。

回答No.4

alice_44

積 c[n] c[n+1] を使うという根本は同じですが、
精密なハサミウチをしなくても、もう少しお気楽に…

c[n] = (n-1)!!/n!!
と置くと
c[1] = 1
c[n+1] = c[n] (n+1)/(n+2)
だから、
0 < c[n+1] = c[n] {1 - 1/(n+2)} < c[n]
が成り立ちます。

下に有界な単調減少列は収束する
(Bolzano Weierstrass の定理) ので、
lim(n→∞) c[n] の収束が言えます。

c[n] c[n+1] = { (n-1)!!/n!! }{ n!!/(n+1)!! }
= 1/(n+1) → 0　　; when n→∞
だから、
0 = lim(n→∞) c[n] c[n+1] = { lim(n→∞) c[n] }^2
より、
lim(n→∞) c[n] = √0.

お礼

非常にわかりやすく、シンプルな解答に感謝します。
いつもありがとうございます。

回答No.3

sunflower-san

No.2の画像の続きです。

回答No.2

sunflower-san

回答No.1です。

積分などの評価を使わない、もっとシンプルな方法で出来たので参考にどうぞ。
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