線形代数2の応用問題みたいです

質問

f(x,y,z)=cos3x+cos2y+cosz-2xyzに対して、原点が停留点か、極大極小か調べろという問題です。

できるだけわかりやすく解説お願いしたいです。お願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

f(x,y,z)=cos(3x)+cos(2y)+cos(z)-2xyz
fx(x,y,z)=-3sin(3x)-2yz
fy(x,y,z)=-2sin(2y)-2xz
fz(x,y,z)=-sin(z)-2xy

原点(x,y,z)=(0,0,0)では
fx(0,0,0)=0
fy(0,0,0)=0
fz(0,0,0)=0
であるから、原点は停留点である。

ヘッセ行列H(f)を求めよう。
fxx(x,y,z)=-9cos(3x)
fxy(x,y,z)=-2z
fxz(x,y,z)=-2y
fyx(x,y,z)=-2z
fyy(x,y,z)=-4cos(2y)
fyz(x,y,z)=-2x
fzx(x,y,z)=-2y
fzy(x,y,z)=-2x
fzz(x,y,z)=-cos(z)

H(f)=
[-9cos(3x),-2z,-2y]
[-2z,-4cos(2y),-2x]
[-2y,-2x,-cos(z)]

停留点(x,y,z)=(0,0,0)におけるヘッセ行列H(f)は
H(f)(0,0,0)=
[-9,0,0]
[0,-4,0]
[0,0,-1]
H(f)(0,0,0)の固有値λ=-9,-4,-1は全て負で
detH(f)(0,0,0)=-36≠0(非退化)

H(f)(0,0,0)は負定値対称行列であるから
f(x,y,z)は原点(0,0,0)で極大となる。
極大値f(0,0,0) = cos(0)+cos(0)+cos(0)-0 = 3

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/ヘッセ行列

お礼

助かりました！ありがとうございます！