電磁気学、電束密度Dを求める考え方について

質問

表題について、条件として長さLの同心円筒電極間に2種類の誘電率ε1、ε2をもつ誘電体が満たされている。内電極に+Q、外電極に-Qを与えた。
この時の０誘電体内（c<r<a）での電束密度Dを求めたいのです。
添付ファイルのように閉曲面を考え、Dのベクトルを考えてみたのですが、考え方は正解でしょうか。
また、微小面積を貫くベクトルがcos0°ではない為、これ以上求められません。
ちなみに答えはD=Q/(2πrL)となります。
おそらく考え方が間違っていると思いますので教えていただけますでしょうか。※添付写真が見ずらいですがよろしくお願いいたします。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

>しかし、電束密度D、電流密度Jの場合のガウスの法則の考え方なのですが、
>電束密度D、電流密度Jの場合も↑D、↑JはQから出ており、
>閉曲面を垂直に貫くと考えてもいいのでしょうか。

話が唐突で前後のつながりが見えませんが、ガウスの定理は任意の
ベクトル場で成り立つ法則です。

またガウスの定理において、閉曲面の置き方は任意です。
ベクトル場に対して、閉曲面を直交するように
工夫すると、計算が楽に場合があるいうだけです。

ガウスの法則から直交が導き出されるわけではありません。

補足

右辺はどうなるのでしょうか。電界で考えると閉曲面内の全電荷でしたが。D,Jで考えるとどうなるのか

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

まず、この問題は「長さLの同心円筒電極」ではなく、
「十分に長い、同心円筒電極の長さLの部分」
のはず。

でないと同心電極の長さ方向に電場が一様では
なくなるため簡単には解けない問題になります。
写し落とすなり、聞き落とすなりしているのでしょう。

以上を前提に考えると、電束密度は問題の対称性から筒の長さ方向に垂直かつ、
円筒中心から放射状に進む方向で、円筒電極と同心の円筒の側面と直交するのは
明白です。

従って、ガウスの法則から D =　Q /長さLの円筒の側面の面積 = Q/(2πrL)

Kakgi さんは電束密度が同心円筒の側面とは違う向きを向くとお考えのようですが
具体的にどちらに向くとお考えですか？
問題の対称性と矛盾のない形で向きを傾けるのは不可能だと思いますが、いかがでしょう。
＃電場が円筒の軸に対して右回りは左回りだったり、円筒の軸方向のどちらかにに倒れていたら
＃変ですよね？

補足

疑問点がありまして、電界の場合のガウスの法則の考え方は例えば、円球の中心にQ（ｃ）を置いた場合、円球の周りを閉曲面で囲い、閉曲面の微小面積を垂直に貫く電界を考えると、ガウスの法則はε0・∫E・ds/cosθ＝Qとなり、cosθは1となるので（4πｒ＾2）・E・ε0＝Qとなり電界はE=Q/ε0（4πr＾2）と求めることができます。
しかし、電束密度D、電流密度Jの場合のガウスの法則の考え方なのですが、電束密度D、電流密度Jの場合も↑D、↑JはQから出ており、閉曲面を垂直に貫くと考えてもいいのでしょうか。
つまり、電界の場合と同じ考え方なのですが。
また、ガウスの法則の右辺も電界の場合同様に閉曲面の中の全電荷でいいのでしょうか。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

tawashi8

図の文字がよく見えないので、私なりの答え方を挙げておきます。

電磁気学で電場や磁場を求める時に、ガウスの法則（電磁気学ではガウスの定理じゃないですよ）やアンペールの法則等で任意の閉曲面や線を考える事が多いのですが、大体はその問題に適した形の閉曲面や線があります。今回の問題のような円筒等の直線状に電荷が分布してる時は、それを中心軸とする円柱状の閉曲面で囲ってあげると、綺麗に解ける場合が多いです。

[解]
帯電している円筒の中心軸を同じく軸とする半径ｒ、高さLの円柱状の閉曲面をSとする。対称性より、電場は軸から外側へ放射状に広がるので、電場は円柱表面Sと直交して貫く。よってガウスの法則より、２πｒLD＝Q。したがって、D＝Q/２πｒLとなる。

上の解き方で、「電場は円柱表面Sと直交して貫く」とは、θ＝０という意味なのは分かりますか？円の中心から円周上の距離はどこも一定の| r|で、位置ベクトルｒは円の接線に常に垂直ですよね。この問題の円柱側面の面素ベクトルｄSの向きも円柱の軸からその円柱側面の面素まで向かう位置ベクトルと同じ向きです。電場の向きD（ここでは電束密度）もこれと同じ向きなので、２つのベクトルDとｄSの間の角度θは０になります。ゆえにcosθ＝１となって、解法のような等式が成り立ちます。紛らわしいですが、電場の向きと面が直交しているというのは、電場の向きと面素ベクトルが同じ向きで平行であるという事を意味しています。

補足

私も同じように考えています。しかし、2点ほどわからない所がありまして・・・
１点目は、今回は誘電率が違いますよね。したがってDのベクトルは屈折するので、閉曲面の微小面積を貫くベクトルとｄｓのベクトルとは角度が生じる為、cosθは1ではないという点。
2点目は、電界の場合のガウスの法則の考え方は例えば、円球の中心にQ（ｃ）を置いた場合、円球の周りを閉曲面で囲い、閉曲面の微小面積を垂直に貫く電界を考えると、ガウスの法則はε0・∫E・ds/cosθ＝Qとなり、cosθは1となるので（4πｒ＾2）・E・ε0＝Qとなり電界はE=Q/ε0（4πr＾2）と求めることができます。
しかし、電束密度D、電流密度Jの場合のガウスの法則の考え方なのですが、電束密度D、電流密度Jの場合も↑D、↑JはQから出ており、閉曲面を垂直に貫くと考えてもいいのでしょうか。
つまり、電界の場合と同じ考え方なのですが。
また、ガウスの法則の右辺も電界の場合同様に閉曲面の中の全電荷でいいのでしょうか。
よろしくお願いいたします。