相関係数 -1<=ρXY<=1 の証明

質問

統計学入門を読んでいます。
途中の計算過程を教えて下さい。

相関係数 -1<=ρXY<=1 の証明は次のようにするとうまくできる。

tの2次式
Q(t) = V(tX+Y)
= E{tX + Y - E(tX+Y)}^2
= t^2 V(X) + 2t Cov(X,Y) + V(Y)
を考えると、これは負にならない2次式であるから、判別式 <=0 でなければならない。このことから、
(Cov(X, Y))-2 <= V(X)・V(Y)が直ちに導かれる。

これを自分で解こうとしています。
添付画像をご覧ください。

一番下の「※本に載っている式」の形にしたいです。
ただ、2乗の展開とV(X)にするタイミングが分かりません。
早くV(X)とV(Y)にしてしまいたいんですが、2乗が邪魔してできません。
無理矢理V(X)とV(Y)にしたらE[ ]が残ってしまいました。
どうか教えて下さい。お願いします。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

= E [ { t ( X - E(X) ) + Y - E(Y) }^2 ] ※ここまでは問題ありません。

t ( X - E(X) ) を A , Y - E(Y) を B とおきかえて
(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2
の展開式を用いると、この続きは

= E [ t^2 ( X - E(X) )^2 + 2t ( X - E(X) ) ( Y - E(Y) ) + ( Y - E(Y) )^2 ]
= E [ t^2 ( X - E(X) )^2 ] + E [ 2t ( X - E(X) ) ( Y - E(Y) ) ] + E [ ( Y - E(Y) )^2 ]
= t^2 E [ ( X - E(X) )^2 ] + 2t E [ ( X - E(X) ) ( Y - E(Y) ) ] + E [ ( Y - E(Y) )^2 ]
= t^2 V(X) + 2t Cov(X,Y) + V(Y)

となります。いかがでしょうか。

お礼

ベストアンサーを差し上げます。

なるほど、AとBに置き換えて計算すればよかったですね。
思い付かなかったです。

今回もベストアンサーで迷いました。
AとBに置き換えるというのが私のオツムに優しかったのと、先に答えて下さったので、No.1さんに決めました。でも、（質問の範囲外ですが）判別式の結果の平方根を取って下さったのを讃えて、No.2さんにはベストアンサー分チップ＋１チップを差し上げることにします。
ご回答ありがとうございました。

回答No.2

gamma1854

V(tX+Y)
=E[{tX+Y - E(tX+Y)}^2]
=E[t^2(X-E(X))^2 + 2t*(X-E(X))*(Y-E(Y)) + (Y-E(Y))^2]
=t^2*E[(X-E(X))^2] + 2t*E[(X-E(X))*(Y-E(Y))] + E[(Y-E(Y))^2]
=t^2*V(X) + 2t*Cov(X, Y) + V(Y).
ここで条件より、判別式 D/2≦0 から |Cov(X, Y)|≦√{V(X)*V(Y)}.
を得ます。

お礼

ご回答ありがとうございます。

今回もベストアンサーで迷いました。
おそらくAとBで置き換えなくても計算できる、ということですね。
その通りで、もしNo.1さんよりも早く回答を頂いていたら、こちらの回答でも良かったかもしれません。

その後の計算で、判別式の結果の平方根を取って下さったのは助かりました。下手したら、もう一回質問するところでした。ということで、No.2さんにはベストアンサー分チップ＋１チップを差し上げることにします。
ご回答ありがとうございました。