数学の問題

質問

ｎは整数、ｎ^3＋５ｎは6の倍数を示してください

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞ｎは整数、ｎ^3＋５ｎは6の倍数を示してください
ｎ^3＋５ｎ
＝ｎ^3－ｎ＋６ｎ
＝ｎ（ｎ^2－１）＋６ｎ
＝（ｎ－１）ｎ（ｎ＋１）＋６ｎ
隣り合った３つの整数には、２の倍数と３の倍数が含まれるから、その積は６の倍数。
だから、（ｎ－１）ｎ（ｎ＋１）は、６の倍数
ｎは整数だから、６ｎは６の倍数
よって、上の２つの和だから、
ｎ^3＋５ｎは、６の倍数である。

どうでしょうか？

回答No.4

wild_kit

ｎを６で割った際の余りから以下の６パターンが考えられます。
ｎ＝６ｍ，ｎ＝６ｍ＋１，ｎ＝６ｍ＋２，ｎ＝６ｍ＋３，ｎ＝６ｍ＋４，ｎ＝６ｍ＋５＜ｍは整数＞
（ｎ＾３）＋５ｎ　＝　ｎ｛（ｎ＾２）＋５｝

　ｎ＝６ｍ
ｎ｛（ｎ＾２）＋５｝　＝　（６ｍ）［｛（６ｍ）＾２｝＋５］

　ｎ＝６ｍ＋１
ｎ｛（ｎ＾２）＋５｝　＝　（６ｍ＋１）［｛（６ｍ＋１）＾２｝＋５］　＝　　（６ｍ＋１）［｛３６（ｍ＾２）＋１２ｍ＋１｝＋５］
＝　（６ｍ＋１）｛３６（ｍ＾２）＋１２ｍ＋６｝　＝　（６ｍ＋１）［６｛６（ｍ＾２）＋２ｍ＋１｝］

　ｎ＝６ｍ＋２
ｎ｛（ｎ＾２）＋５｝　＝　（６ｍ＋２）［｛（６ｍ＋２）＾２｝＋５］　＝　｛２（３ｍ＋１）｝［｛３６（ｍ＾２）＋２４ｍ＋４｝＋５］
＝　｛２（３ｍ＋１）｝［３｛１２（ｍ＾２）＋８ｍ＋３｝］　＝　６（３ｍ＋１）｛１２（ｍ＾２）＋８ｍ＋３｝

　ｎ＝６ｍ＋３
ｎ｛（ｎ＾２）＋５｝　＝　（６ｍ＋３）［｛（６ｍ＋３）＾２｝＋５］　＝　｛３（２ｍ＋１）｝［｛３６（ｍ＾２）＋３６ｍ＋９｝＋５］
＝　｛３（２ｍ＋１）｝［２｛１８（ｍ＾２）＋１８ｍ＋７｝］　＝　６（２ｍ＋１）｛１８（ｍ＾２）＋１８ｍ＋７｝

　ｎ－６ｍ＋４
ｎ｛（ｎ＾２）＋５｝　＝　（６ｍ＋４）［｛（６ｍ＋４）＾２｝＋５］　＝　｛２（３ｍ＋２）｝［｛３６（ｍ＾２）＋４８ｍ＋１６｝＋５］
＝　｛２（３ｍ＋２）｝［３｛１２（ｍ＾２）＋１６ｍ＋７｝］　＝　６（３ｍ＋２）｛１２（ｍ＾２）＋１６ｍ＋７｝

　ｎ＝６ｍ＋５
ｎ｛（ｎ＾２）＋５｝　＝　（６ｍ＋５）［｛（６ｍ＋５）＾２｝＋５］　＝　（６ｍ＋５）［｛３６（ｍ＾２）＋６０ｍ＋２５｝＋５］
＝　（６ｍ＋５）［６｛６（ｍ＾２）＋１０ｍ＋５｝］　＝　６（６ｍ＋５）｛６（ｍ＾２）＋１０ｍ＋５｝

いずれの場合も６が出てくるので、（ｎ＾３）＋５ｎは６の倍数となります。

回答No.3

asuncion

＞#2さん
なるほど。わざわざ数学的帰納法など持ち出さなくてもよかったんですね。
参考になりました。

回答No.1

asuncion

n=1のとき、n^3+5n=6は6の倍数である。

n=kのとき、k^3+5kが6の倍数であるとする。このとき、
(k+1)^3+5(k+1)
=k^3+3k^2+8k+6
=k^3+5k+3k^2+3k+6
=k^3+5k+3k(k+1)+6
ここで、仮定より、k^3+5kは6の倍数である。
また、kとk+1は連続する整数であるから、いずれか一方は必ず偶数である。
よって、3k(k+1)は6の倍数である。
ゆえに、n=k+1のとき、(k+1)^3+5(k+1)は6の倍数である。

以上より、nが整数のとき、n^3+5nは6の倍数である。