数学の問題です。

質問

lim[ｘ→0]ｘ‐sinx/x＾3
∫[-∞、∞]1/（1+ｘ＾2）ｄｘ
の2問です。よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
>lim[ｘ→0]ｘ‐sinx/x＾3
分子がどこまでか判るように書いてください。

L=lim [x→0] (x-sin(x))/x^3
ですか？

そうだとして回答します。
0/0型なのでロピタルの定理を使っていいなら
L=lim [x→0] (1-cos(x))/(3x^2)
まだ0/0型なのでロピタルの定理を使って
L=lim [x→0] sin(x)/(6x)
=(1/6)lim [x→0] sin(x)/x
=1/6

(2)
公式：∫1/(1+tan(x)) dx=tan^-1(x)+Cを用いて
I=lim [x→∞] tan^-1(x) -lim [x→-∞] tan^-1(x)
=π/2 - (-π/2)
=π

お礼

回答ありがとうございます。今度から気を付けます。

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.2

alice_44

１問目：
lim[x→0](x ‐ sin x)/x^3 ですね？

テイラーの定理より、
sin x を x=0 中心に 3 次近似すると、
sin x = 0 + x + 0x^2 + (-1/6)x^3 + R(x),
lim[x→0]R(x)/x^3 = 0 となります。

これを使って sin を消去すると、
lim[x→0](x ‐ sin x)/x^3
= lim[x→0]{x - (x + (-1/6)x^3 + R(x))}/x^3
= 1/6 - lim[x→0]R(x)/x^3
= 1/6.

２問目：
∫{1/(1+x^2)}dx は、
x = tanθ という置換積分の原型なので、
変形の仮定を、まるまる覚えておいたほうがよいです。
tan による置換は、
三角関数と加減乗除で作られた被積分関数の積分に
広範に使える小技で、仕込んでおくと重宝します。

x = tanθ で置換すると、
∫[x=-∞→+∞]{1/(1+x^2)}dx
= ∫[θ=-π/2→+π/2]{1/(1+x^2)}{dx/dθ}dθ
= ∫[θ=-π/2→+π/2]{1/(1+(tanθ)^2)}{1/(cosθ)^2}dθ
= ∫[θ=-π/2→+π/2]dθ
= (π/2) - (-π/2)
= π.

お礼

ありがとうございます。
tanθの公式？みたいなものは覚えておきたいと思います。