微積分です。

質問

数学の問題です。
∫√（ｘ＾2+a＾2）ｄｘ
∫[2、∞]1/｛x（sinx）＾λ}ｄｘ
の2問です。よろしくお願いします。

回答No.2

muturajcp

(1)
t=log[{x+√(a^2+x^2)}/a]
とすると
e^t={x+√(a^2+x^2)}/a
e^{-t}={√(a^2+x^2)-x}/a
x=asinh(t)
√(a^2+x^2)=acosh(t)
x√(a^2+x^2)=a^2{sinh(2t)}/2
dx=√(a^2+x^2)dt=acosh(t)dt
だから
∫√(x^2+a^2)dx
=a^2∫[{cosh(t)}^2]dt
=a^2∫[{cosh(2t)+1}/2]dt
=(a^2/4){sinh(2t)}+(a^2/2)+c
=[{x√(a^2+x^2)}/2]+(a^2/2)log[{x+√(a^2+x^2)}/a]+c
=[{x√(a^2+x^2)}/2]+(a^2/2)log{x+√(a^2+x^2)}+C

[↑x√(a^2+x^2)ではなく{x√(a^2+x^2)}/2であることに注意!]

(2)
∫_{2～∞}1/{x(sinx)^λ}dx
x=nπのときsinx=0となって
1/{x(sinx)^λ}の分母=0となってしまうため
1/{x(sinx)^λ}が定義できない

λ>1のとき

x≦πのとき
1/x≧1/π
∫_{2～π}1/{x(sinx)^λ}dx
=∫_{2～π}1/[x{sin(π-x)}^λ]
≧(1/π)∫_{2～π}(π-x)^{-λ}dx
=(1/π)/(-λ+1)[1/(π-x)^{λ-1}]_{2～π}
=∞

回答No.1

info22_

文字定数を使うときは、文字についての制約条件（定数の定義）を明記しましょう。また大学生か、高校生か書いてくれると、回答も変わります。
大学数学では使っていい関数でも高校数学では使えない関数があるからです。

(1)
aについて何も書いてないから、正の実数であるとします。

大学数学なら
　x=a*sinh(t)とおいて置換積分をします。
高校数学なら
　x+t=√(x^2+a^2)とおいて罹患積分をします。
　x=1/cos(t)とおいて置換積分しても良いです。

質問者さんが大学生であり双曲線関数sinh(x)を習っているとして回答します。
(参考URL)双曲線関数
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/双曲線関数
ttp://hooktail.sub.jp/mathInPhys/hyperTrigF1/

x=a*sinh(t)とおいて置換積分すると
　dx=a*cosh(t)dt
　√(x^2+a^2)=a√{(sinh(t))^2+1}=a*cosh(t)

∫√(x^2+a^2)dx=∫acosh(t)*a*cosh(t)dt
　=(a^2)∫(cosh(t))^2 dt
　=(a^2/2)∫{cosh(2t)+1}dt
　=(a^2/2)sinh(2t)+(a^2/2)t+C (C：積分定数)
もとの変数xに戻せば
　=(a^2)sinh(t)cosh(t)+(a^2/2)t+C
　=x√(x^2+a^2)+(a^2/2)sinh^-1(x/a)+C ...(答え)

(2)
質問
文字定数λの定義はどうなっていますか？

補足

大学生で双曲関数は習いました！！

λの定義ですが、λ＞1となっていました。
抜けてしまってすみません。解き方を教えていただけると助かります。よろしくお願いします。