微分方程式の問題をおえてください!

質問

画像の問題が分からなくて困っています。
まず最初に何をするのかさえ、ノートを見ても分かりません。
聞ける友達もいないし、明後日がテストなのでとても困っています。
どうか教えてください。

回答No.1

muturajcp

(1)
2x(y'+y)y"+(2x-1)(y')^2+2(x-1)yy'-y^2=4x^2
2x(y"+y')(y'+y)-(y'+y)^2=4x^2
2(y"+y')(y'+y)/x-{(y'+y)^2}/x^2=4
p={(y'+y)^2}/xとすると
p'=2(y'+y)(y"+y')/x-{(y'+y)^2}/x^2=4
p=4x+c
{(y'+y)^2}/x=4x+c
(y'+y)^2=4x^2+cx
y'+y=√(4x^2+cx)
両辺のe^xをかけると
y'e^x+ye^x=e^x√(4x^2+cx)
(ye^x)'=e^x√(4x^2+cx)
y=e^{-x}∫e^x√(4x^2+cx)dx
∴
y=√(4x^2+cx)-e^{-x}∫(e^x)(8x+c)/{2√(4x^2+cx)}dx
c=0のとき
y=2x-2

(2)
yy"+(1/x)yy'-(x+1)(y')^2=0
xyy"+yy'-x(x+1)(y')^2=0
xy"+y'-x(x+1)(y')^2/y=0
xy"/y+y'/y-x(x+1)(y'/y)^2=0
p=xy'/y
とすると
p'=(y'/y)+(xy"/y)-x(y'/y)^2
p'=p^2
-p'/p^2=-1
1/p=-x+c
p=1/(c-x)
xy'/y=1/(c-x)
y'/y=1/{x(c-x)}=(1/c){1/x-1/(x-c)}
logy=(1/c){log|x|-log|x-c|}+b
logy=b+log(|x|/|x-c|)^{1/c}
a,cを任意定数(c≠0)とすると
∴
y=a{x/(x-c)}^{1/c}