にゃんこ先生といいます、文字のおきかえの背景

質問

たとえば、
sin2θ + sinθ + cosθ
の取りうる範囲を求めるには、
t = sinθ + cosθ とおきかえすると、t^2 = 1 + sin2θなので、
sin2θ + sinθ + cosθ = t^2 - 1 + t
の取りうる範囲を求めればいいことになります。

次に、
sin3θ + sinθ + √3 cosθ
の取りうる範囲を求めるには、
t=sinθ+√3cosθとおきかえすると、じっくり計算して、
(1/2)(t^3-3t) =3sinθ-4sin^3θ= sin3θ
なので、
sin3θ + sinθ + √3 cosθ = (1/2)(t^3-3t) + t
の取りうる範囲を求めればいいことになります。

この種のおきかえの続きはあるのでしょうか。

t = a sinθ + b cosθとおきかえして、 sin(nθ)がtの多項式になるようにするには、a,bをどうすればよいのでしょうか？

この種のおきかえの背景には何があるのでしょうか？

回答No.3

mnakauye · ベストアンサー

昨日の続きですが、ヒントは参考になりましたでしょうか？

　もう少し書けば、第一の例では、sin(２θ)＝ーcos(２θ+90)と言うように,角が後半部分の合成関数の角　(θ＋４５)の倍角になります。

　　第二の例でも、前半部分を変形すれば、sin(３θ)＝－sin(３θ＋１８０)となり、後半部分
つまりｔである合成関数の角の３倍になります。

　このような関係のとき、前半部分が　ｔ　で表すことが可能になります。

　　一般に、t = a sinθ + b cosθ＝1/√（a^2+b^2） sin(θ＋α)　　αは　ベクトル（ａ，ｂ）のｘ軸となす角

　　　ですから、前半部分 sin(nθ)を変形して　角は sin(nθ＋９０m）・・・９０ｍは、90度の倍数、とはできますから、

　　　(θ＋α)と(nθ＋９０m）の倍数関係から、α＝90m/nとなるようなa,bに対してｔ　で表すことが可能になります。

　　それが多項式になりうるかということ考えれば良いのではないでしょうか。

　　したがって、かなり限定されたものになってきますね。

お礼

ありがとうございます。よくわかりました。

回答No.4

stomachman

回答になってませんがご参考までに。
　これはチェビシェフの直交多項式系Tn(x)と関連が深い話でしょう。

　Tn(x)　(n=0,1,2,…）はxのn次多項式で、しかも直交性
　　∫[-1～1] (Tn(x)Tm(x)/√(1-x^2)) dx = (π/2) δm,n
を満たすもの、ってことですが、これは
　　Tn(cosθ) = cos(nθ)
という関係を満たしています。
　というのは、上記の内積の式を変数変換すれば分かるように、単位円周上の点を極座標(r,θ)=(1,θ)で表し、単位円周上で定義される関数
　　f(θ) = cos(nθ)
を考えたとき、これを直交座標系 (x,y) = (r cosθ, r sinθ)の x軸上に投影したもの(yを無視したもの）に他ならないからです。（これが多項式（の-1～1の部分）になっちゃうのが面白いですよね。もともと円周上の三角関数だったものが、|x|>1の範囲にまで多項式として拡張できるわけで、このことは解析接続に利用できますが、それはさておき。）
　なのでまた、f(θ)はリサージュ図形の特殊な例になっています。リサージュ図形ってのは、パラメータθで表される曲線
　　x = cos(mθ), y = cos(nθ+φ)
のことで、特にm=1, φ=0の場合がf(θ)に他なりません。で、
　　Tn(cosθ) = cos(nθ)
のθをθ+φか何かで置き換えて加法定理で展開してやれば、φによってイロイロな公式が出て来るんでしょうね。

回答No.2

eatern27

cos(nθ)=f_n(cosθ)
となるようなn次多項式f_nを使うと、

sin(nθ)
=cos(π/2-nθ)
=f_n(cos(π/2n-θ))

となりますから、例えばt=cos(π/2n-θ)とおけばいいですね。

お礼

ありがとうございます。cos(nθ)=f_n(cosθ)はチェビシェフ多項式となるのですね。

回答No.1

mnakauye

こんにちは、面白い問題ですね。

　この２つの例の場合、周期が問題になります。

　後半の周期が同じ２つの式、つまり置き換える tの関数は、合成すると上の場合は４５度、下の例では６０度の移動になります。

　これに対して前半の関数は上の場合は、ｔの周期に対して２倍、下の場合は３倍になります。

　　ここで、４５度の２倍は９０度、６０度の３倍は１８０度となりますから、前半と後半の関数のグラフはそれぞれピークが同じいちになるようになります。（参考図）

　このような場合に置き換えた　ｔ　で前半の関数が表せると言うことになるのではないでしょうか。

　係数　ａ，ｂは合成したときに、移動する角度が、１８０度の約数に限定されますね。

角度が、a/√(a^2+b^2)　とb//√(a^2+b^2)　に関係しますから、これと　ｎの関わる周期　との関係なのでしょうか。