微積文学の問題です

質問

an＝(1+c/n)＾n (nは自然数、cは定数)
とするとき、｛an｝が単調増大列であること、
また、上に有界であることを示せという問題が
とけません(~_~;)

わかる方いたらお願いします(; ゜゜)

回答No.5

Tacosan

やっぱり言葉が足りない. 「limitの計算で１に収束する」とは, 「何のどのような条件における極限が 1 に収束する」と言いたい?

an が n→∞ の極限で 1 に収束する, という意味ですか? もしそういう意味だとしたら, (c≠0 なら) 答えは明確に NO です. なぜなら n→∞ における an の極限は e^c だから (でもここではその結果を使ってはいけないはず).

ちなみに指数の底 1+c/n が n→∞ の極限で 1 に収束するという意味だとしても答えは NO. 指数の大きくなる度合いとの勝負になって, 例えば bn = (1+c/n)^(n^2) なら n→∞ のとき (底は 1 に収束しますが) bn そのものは c > 0 なら ∞ に発散し, c < 0 なら 0 に収束します.

回答No.4

Tacosan

え～と....

それは何を示そうとしているのでしょうか? 単調増加であること? 上に有界であること? それ以外の何か?

n に関し単調増加であることを示すなら, それだけ出しても無意味で a(n+1) と a(n) との関係を見なければいけませんよ. 一方上に有界であることを示すなら「任意の n について a(n) より大きい」級数を見つけて, それが (有限値に) 収束することを示すのが簡単でしょう. 「r > 2c なら c/r < 1/2」がポイントになる... か?

お礼

参考にさせていただき、なんとか単調増大列であることは示せました(><)ありがとうございます(; ゜゜)

有界であることはlimitの計算で１に収束するとは考えられませんか？

回答No.3

Tacosan

補足ですが, ここで証明するつもりでできるところまで書いて「何が分からないのか」を明らかにしてもらうとフォローしやすいんでよろしくお願いします.

お礼

言葉たりずですみません(; ゜゜)

二項定理より、
an=(1+c/n)＾n
=∑(r=０→n)nCr(１)＾(n-r)(c/n)＾r
=∑(r=0→n)n(n-1)‥‥(n-r+1)×1/r!×(c/n)＾r
=∑(r=0→n)1/r!×1(1-1/n)(1-2/n)‥‥(1－r-1/n)c＾r

までです(汗)
C＾rがなければaのn+1＞aのnとなり単調増大だと思ったのですが、上手くてきませんでした( ; _ ; )

回答No.2

Tacosan

「収束に持ち込めない」ってどういうことだろう. 単調増加かつ上に有界なら収束するわけだから, 「上に有界」が示せないってこと? それとも, それ以外の何か?

単調増加であることは示せますか?

回答No.1

Tacosan

にこうていり

お礼

ありがとうございます！
二項定理でチャレンジしたんですけど、定数c＾rが出てきて収束に持ち込めないです(;_;)