螺旋について

質問

ふと，螺旋系の方程式は，どんな方程式なのか疑問に思いました．なるだけ簡単な方程式を誰か教えてください．
　また，螺旋系が大きくなるにつれ幅が小さくなり，円に収束する様な方程式もあるのか，知りたいです．子供に円を描かせると，螺旋がだんだん大きくなり円となりますよね．そんな方程式があればとても楽しい気持ちになれると思うのです．

回答No.3

ranx · ベストアンサー

> 横軸がxで，縦軸をxiとする座標で考えるのですか？
いや、そうではなくて、原点からの距離がｒ、基線からの角度がθという表現方法です。
地球の緯度・経度は、メルカトル図法等では直交座標風ですが、
極地方を方位図法で表すと極座標風になります。
（かえってややこしい？）

直交座標とは、一応相互に変換可能です。

極座標→直交座標
x = r cosθ
y = r cosθ

直交座標→極座標
r = √(x^2+y^2)
θ= arccos(x/r) = arcsin(y/r) = arctan(y/x)
（値域を注意する必要があります。）

前の回答の式に代入すればよいのですが、ややこしいでしょう？

回答No.4

ranx

No.3の一部訂正

(誤) y = r cosθ
(正) y = r sinθ

回答No.2

ranx

螺旋は極座標で表現すると、比較的単純な形式になります。

r = aθ
r = exp(θ)

などです。
円に収束させたいということでしたら、

r = tanh(θ)

など、どうでしょう。

補足

極座標ですか・・・難しそうですね．
横軸がxで，縦軸をxiとする座標で考えるのですか？
θ は，任意の角度と考えて良いですか．
角度を表す数値が数学で出てくる時，数字としてとらえて良いのか，曖昧に感じるのは，あたしだけなのでしょうかね．数学の知識の少ない私の質問に答えてくれて感謝しています．

回答No.1

arukamun

円に収束する螺旋の方程式ですか？

普通の円の方程式は

x^2+y^2=r

ですね。
これに時間tという変数を使って、tが∞に近づくとrになる様な関数αを考えます。
例えば、
　　　 ∞
α(t) = Σ　r*(2^-t)
　　　 t=0
とかですね。

cos(t)^2+sin(t)^2=α(t)

といった感じなのかなぁ。

お礼

さっそくのご返答ありがとうございます．
（時間tという変数を使って、tが∞に近づくとrになる様な関数αを考えます。）
　時間を考えればよいわけですね．
解ったような気がします．時間など考えずにｘｙ平面だけで，うずまきを表現するのは難しいのかな？