円の面積を螺旋で分割して積分で計算できますか

質問

円盤を同心円状に分割しないで螺旋で分割して螺旋の幅を限りなくゼロに近付け、積分の考えかたでπr＾２にたどりつけるのでしょうか。

回答No.4

kanemoto_s · ベストアンサー

＞算数で理解できないかと

小学算数で習う円の面積では同心円状に分割した扇型のそれぞれを

三角形の底辺<=>長さπｒθ/180の円弧
三角形の高さ<=>中心からの距離 r
三角形の面積<=> (1/2)π(r^2)θ/180

に対応させて。
（θは一周360度にしています）

円の面積＝π(r^2)

と説明していたと思います。

このとき、三角形の底辺・高さをそのままにして大きく変形させても面積は同じです。
変形させたそれぞれ扁平な三角形と点対象に回転させた螺旋で区切った図形を対応させて考えれば何とか理解できないでしょうか？

同様に激しく螺旋を回転させても、中心からの距離 r と弧の長さ rθ が変わることがないので積分しても結果は同じになってしまうのです。

お礼

変形させても面積は変わらないということで理解するというところを勉強させていただきます。ご教示ありがとうございます。

回答No.3

kanemoto_s

＞ほかに分割の方法はあるのでしょうか。

ジグザグや波線であっても、中心に対して点対称の連続した線で分割可能であれば積分可能で問題ありません。
点対称で不連続な線の場合、部分的に積分した総和で計算可能な場合も出てくるはずが、一概に円の面積を求めることが可能とまでは言えなくなってしまうと思います。（この部分はあまり自信がないです）

お礼

積分を算数で理解できないかと思っているので、ご説明が難しすぎるのですが、もう少し勉強してみたいと思います。特に連続という概念が重要なのだろうと理解いたしました。再三のご指導ありがとうございました。

回答No.2

kanemoto_s

Ｃ(r,θ)が存在し、
・Ｃは連続であること(あたりまえだが)
・Ｃはｒ,θに対して一意に決定できること(あたりまえだが)
・Ｃ上の点と原点の距離はrであり、θには依存しないこと
という点対称の条件が揃えば、極座標系を使って
∫Ｃ ｄｒ ⇒ ∫r ｄｒ
となるので、容易に
∫∫Ｃ ｄｒ dθ ＝ πr^2
となります。

どのように螺旋状（渦巻き状）に引き伸ばしても原点からの距離で考えれば歪みは解消されます。
円盤を分割するときに、中心から点対象の曲線で分割するということは直交座標で考えれば難しいが、極座標で考えればほぼ自明ではないでしょうか。

お礼

そういうものなのですね。勉強させていただきます。同心円や螺旋（らせんにもいくつかあるようですが）のほかに分割の方法はあるのでしょうか。

回答No.1

kanemoto_s

∫ｒ ｄｒ ｄθ=∫（1/2）r^2ｄθ=πｒ＾２
上記が扇型の図形を積分する式。
（1/2）r^2
上記の真ん中の式を維持した形で扇型を変形させ、円を分割する限りは積分可能。

お礼

ご教示ありがとうございます。素朴な意味でらせん状に切った細長い紐の面積を直感的にイメージできる積分の方法はないものでしょうか。