接線の本数

質問

お世話になっております。数学IIIからの質問です。

問 点(1,a)を通って、曲線y=e^xにちょうど2本の接線が引けるようなaの値の範囲を求めよ。

という問題です。
数学2での座標幾何にあったように、適当な接点(t,e^t)をおいて、等式
a=(2-t)e^t…(1) までこじつけたのですが、ここからの必要条件が分からないのです。というか、2本の接線が引けるには、tが異なる二つの値である事が必要なのだろうとは思うのですが、式(1)のような方程式の場合は、どのような式で上の必要条件を示せばよいのでしょうか？

グラフを描いてみて、直感的には0＜a＜e となるのかな、とは思うのですが、説明が出来ません。
アドバイスいただきたく存じます。宜しくお願い致します。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

> y=e^xは区間(-∞,∞)で単調増加、という事

違う。
y=aとy=(2-x)e^xのグラフを描いてその交点が2つだと確かめるんでしょ。

お礼

再度の御回答ありがとうございます。

なるほど。直線y=a と曲線y=(2-x)e^xの共有点が二つになるようなaの値の範囲が求める解ということですね。

質問文にあった私が描いたグラフは恥ずかしながらy=e^xだけです。これと、直線x=1上の動点P(1,a)の関係から見たところ「何となく」0＜a＜eだろうな、くらいの考えでしたので…。これでは、解答としては×だろうと思って質問させていただきました。

でも解く方針が見えました。y=(2-x)e^x のグラフを描くのは面倒ですが、微分すれば何とか描けるので、最後までやれそうです。

ありがとうございました。

回答No.4

spring135

y=a (1)
y=(2-x)e^x　　　(2)

(1)と(2)の交点の数を調べればよい。

(2)は

y'=(1-x)e^x

増減表を書くとわかるが

x→－∞でy'=y=0

x=0でy=2

x=1でy'=0,y=e(極大）

x=2でy=0

x→∞でy'=Y→－∞

よって0<a<e

で２根を持つ。

お礼

御回答ありがとうございました。何とか解までの道筋が見えました。曲線のイメージは不可欠ですね。

回答No.3

uyama33

y=(2-t)e^t…(1)
y=a
の2つのグラフが2箇所でぶつかれば、その2箇所のｔ座標が異なる接点のｘ座標ですから、
y=(2-t)e^t…(1)
のグラフは０から増加してeまで増えてー∞まで減少します。
水平線と2箇所でぶつかるのは
水平線の高さが０とeの間のときです。

お礼

分かりやすいアドバイスありがとうございました。
数学2で確か似たような問題があった気がします。方程式の実数解の個数辺りでしょうか……。うろ覚えになってしまった自分が情けないですが…。
参考にさせていただきます。

回答No.1

f272

> グラフを描いてみて、直感的には0＜a＜e となるのかな、とは思うのですが、説明が出来ません。

どうして？グラフを描けるのなら，その関数が負の無限大から正の無限大までどのように増加してどのように減少するのかわかったってことでしょ。それをそのまま説明すればよい。

お礼

御回答ありがとうございます。
y=e^xは区間(-∞,∞)で単調増加、という事が根拠ですか？う～ん……。ちょっとまた考えてみます。