1対1の一次変換

質問

1対1の一次変換により、互いに平行な直線は互いに平行な直線に移される。
このことを証明せよ。
…という問題の解答が、
l , mの方向ベクトルをv ,w (≠0)とするとw=kv ,
行列Aの一次変換による像 l' , m'の方向ベクトルはAv , Aw (≠0)であり、
w'=kv' ,したがって l' // m'
…となっているんですが、いまいちよく分かりません。
どなたか分かりやすく説明して頂けないでしょうか？

回答No.1

B-juggler · ベストアンサー

こういうので引っかかっていてダイジョウブだろうか？

難しく考えないこと。まずそこから。

直線ｌと直線ｍ　は平行。　まずこれが書いてない。

方向ベクトル？　なじみが無い。単位ベクトルにしよう。長さが１。
　＃ノルムが１と言う方が正しい。

直線ｌの単位ベクトル　を　ｖ　、おなじく　直線ｍ　を　ｗ　と現すことにします。

このとき、ｌとｍが平行なので、一次線形独立ではない（一次線形従属）ので、

ｗ＝ｋｖ　（ｋは任意の定数）と現せる。　単位ベクトルとしているので、

ｋ＝１　ｏｒ　－１　なんだけどね。

ここまでいいかい？

一次変換をしてみよう。

何でもいいから例を考えることです。回転行列にしようか？　９０度回転の行列ね。

直線ｌは９０度回転。おなじくｍも９０度回転。

その単位ベクトル、ｖ’，ｗ’も９０度回転するね。

このときにベクトルの間で、何か変化がありますか？

ｖ’は９０度、ｗ’は１００度回転しているとかね。

そういう変換ではないね？　これいいかい？

したがって、ｗ’＝ｊｖ’　と出来るね。　平行なベクトルを９０度ずつまわしているんだから

当然平行だ。　ｊは定数。　このときも　単位ベクトルとしておければ、ｊ＝１　ｏｒ　－１

これは　ｋ　と等しいので、　ｗ’＝ｋｖ’　として構わないね？

ダイジョウブ？

ゆえに、単位ベクトルが、１時線形従属を表していることから、

このベクトルは平行。したがって、元の直線　ｌ’，ｍ’も平行。

つらつら書いてみたけれど、こんな感じ。

ｏｎｅ　ｔｏ　ｏｎｅ　の　一次変換行列を何か考えてみればいい。

それだけの話しだよ？　ダイジョウブかい？

大学生なら、「イマイチわからない」なんていっている場合違うぞ。

理解しようと努力をしようか？　じゃなきゃ、山登りには向いてないな。

教授によく相談すること。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

元代数学の非常勤講師。

お礼

ありがとうございます。自分でもやばいなと自覚していましたが、改めてもっと頑張らなきゃと思うことが出来ました。
今のところ、誰にも質問したり出来ない状況にあるので、元々の勉強不足なのもあり、本やネットで調べても理解できるまで時間がかかってしまう感じです。
わかりやすい回答ありがとうございました！m(__)m