次の変換は全て線形変換ですか

質問

１．空間内に任意に与えられたベクトルの方向に平行移動する変換
２．空間内に任意に与えられたベクトルを回転軸とする回転変換
３．空間内に任意に与えられた1点を中心にλ倍拡大縮小する変換
４．これらを任意に合成した変換

回答No.2

jcpmutura

VとWとを同じ体Fの上のベクトル空間とする。
VからWへの写像fが、任意のベクトルx,y∈Vと任意のスカラーc∈Fに対し、
(1).f(x+y)=f(x)+f(y)
(2).f(cx)=cf(x)
をともに満たすとき,fをF上の線形写像又は線形変換という。

1.空間内に任意に与えられたベクトルb≠0の方向に平行移動する変換を
f(x)=x+b
b≠0
とすると
f(x+y)=x+y+b≠x+y+2b=x+b+y+b=f(x)+f(y)
だから
1.は線形変換ではない
だから
4.も線形変換ではない

3空間内に任意に与えられた1点a≠0を中心にλ倍拡大縮小する変換を
f(x)=a+λ(x-a)
a≠0
とすると
f(x+y)=a+λ(x+y-a)≠2a+λ(x+y-2a)=a+λ(x-a)+a+λ(y-a)=f(x)+f(y)
だから
3.は線形変換ではない

2.空間内に任意に与えられたベクトルを回転軸とする回転変換fに対して
Rx(β)=
(1,0,0)
(0,cosβ,-sinβ)
(0,sinβ,cosβ)
Ry(α)=
(cosα,0,sinα)
(0,1,0)
(-sinα,0,cosα)
Rz(γ)=
(cosγ,-sinγ,0)
(sinγ,cosγ,0)
(0,0,1)
となるfを表す
回転行列
Rz(γ)Rx(β)Ry(α)
が存在し
(1).f(x+y)=f(x)+f(y)
(2).f(cx)=cf(x)
が成り立つから
2.は線形変換である

回答No.1

notnot

線形変換の意味を分かっていれば自明だと思うのですが。

お礼

３．についてですが、線形変換であれば変換行列が存在しますよね。
空間内に任意に与えられた1点p(x1,y1,z1)を中心にλ倍拡大縮小する変換の変換行列はどうなりますか。