一次変換

質問

行列A(3×3)の表す1次変換によって自分自身に写される直線の中でどの２組とも平行でないものを３つ求めよ

という問題なんですが方向ベクトルが行列の固有ベクトルと等しいということは判ったのですがその後どのようにして解けばよいかわかりません。
どうか教えてください

回答No.3

age_momo · ベストアンサー

>方向ベクトルが例えば(2 1 1)の場合,直線x=2y=2zが写される直線を示せと言うことなのでしょうか？

それぞれの直線に対して元の直線に移される事を示すのがこの問題の意図とは思えません。
演繹的な解答をすべきでしょうね。
直線の方程式が(x-d)/a = (y-e)/b = (z-f)/c = k　としておくと
x=ak + d , y=bk + e , z=ck + f
これが
x=ak' + d , y=bk' + e , z=ck' + f
に移ればよいのです。
v1=t(a,b,c) , v2=t(d,e,f)とし　(転置と考えてください)
与えられた行列をAとすると
A*(kv1 + v2) = E*(k'v1 + v2)
(kA-k'E)v1 + (A-E)v2=t(0,0,0)
k(A-λE)v1 + (A-E)v2=t(0,0,0)　(λ=k'/k)
Aが固有値1を持つならv2は対応する固有ベクトルであることが
できますが持たないならv2=t(0,0,0)　つまり、直線は原点を通ります。
v1はそれぞれの固有ベクトルとなります。ただし、固有値1の場合は
v1=v2となりますから
k(A-E)v1 + (A-E)v1=(k-1)(A-E)v1=t(0,0,0)
結局これは原点を通っています。
ここからv1,v2を特定して直線の方程式に戻せばいいと思います。

お礼

ありがとうございます！！
やっと理解できました。

回答No.2

arrysthmia

任意の３×３行列に、一次独立な３つの固有ベクトルが在るわけではありませんが、
与えられた行列Aがそれを持っているのならば、
原点を通って固有ベクトルに平行な直線の組が、求めるものでしょう。

もし、行列Aが固有値1を持つのであれば、1以外の固有値に対応する固有ベクトルの
方向を持つ直線は、原点を通らないものを選ぶこともできます。

回答No.1

Tacosan

?
方向ベクトルがわかってるんだから, 「通る点」を 1個仮定すれば方程式は書けるよね.
で, その直線上の点を映した先がやっぱり同じ直線上にあるという条件から方程式をたてるだけ.
どこがわからないんでしょうか?

補足

方向ベクトルが例えば(2 1 1)の場合,直線x=2y=2zが写される直線を示せと言うことなのでしょうか？