2直線の共有点

質問

空間内の2直線 L: x = 1-y/2 = z-2 , M:x = y-1 = 1-z/2
について、2直線 L , Mは共有点を持たないことを示せ。

上の問題で、共有点を持たない＝　L // Mだと思って、
L,Mの方向ベクトルVl,Vmの要素で
Vlx : Vly : Vlz = Vmx : Vmy : Vmz　となればよい。
としてやろうと思ったんですけど、式の値が
1 : -2 : 1 ≠ 1 : 1 : -2
となってしまいます。
これは、平行であることを示してやるのではないのでしょうか？

回答No.2

sanori

こんにちは。

二次元ならば、平行なときだけ共有点を持ちません。
三次元の場合は、平行または「ねじれの位置」の場合に共有点を持たなくなります。

ちなみに、わざわざベクトルを引き合いに出す必要はありません。

１－ｙ／２　＝　ｚ－２
ｙ－１　＝　ｚ／２
この連立方程式を解くと、

ｚ　＝　１４／５
ｙ　＝　１２／５
となり、共有点の必要条件（すなわち、共通点の暫定のＹ座標、Ｚ座標）となります。

これらを　ｘ＝・・・　の式に代入すると、
Ｌでは、　ｘ　＝　ｚ－２　＝　４／５
Ｍでは、　ｘ　＝　ｙ－１　＝　７／５
という異なるｘの値が出てしまうので、共有点はありません。

なお、計算ミスがあるかもしれませんので、検算してください。

ご参考になりましたら。

回答No.1

rnakamra

3次元以上になると、平行でなくても共有点を持たないことがあります。
簡単な例で言うと三角錐A-BCD(三角形BCDの上にAがある)の辺ABと辺CDは平行ではありませんが、延長しても交差しません。

L上の点は(t,2-2t,t+2)と表せますがどのようなtをとってもMの方程式を満たさないことを示せばよいでしょう。