【相似の証明】

質問

「対応する３組の辺どうしが平行であれば、２つの３角形は相似となることを証明せよ」という問題です。
２つの３角形を△ABC、△A'B'C'として証明が続きます。
まず、∠Aと∠A'付近を調べる。∠Ａを作る辺ＡＢとＡＣ，∠Ａ'を作る辺Ａ'Ｂ'とＡ'Ｃ'について、対応する辺どうしが平行になるような並べ方には(a)と(b)の２通りがある（画像）。aの場合、∠Ａと∠αが同位角で等しく、∠αと∠Ａ'も同位角で等しいので、∠Ａ＝∠Ａ'です。bの場合は、同位角を追跡すれば、∠Ａ＋∠Ａ'＝180°であることが明らかです。
∠Ｂと∠Ｂ'および∠Ｃと∠Ｃ'についても同様だから、従って
{∠Ａ＝∠Ａ' または ∠Ａ＋∠Ａ'＝180°}
{∠Ｂ＝∠Ｂ' または ∠Ｂ＋∠Ｂ'＝180°}
{∠Ｃ＝∠Ｃ' または ∠Ｃ＋∠Ｃ'＝180°}（３つまとめて(1)とする）
の関係があることになる。
ところが、右の３つの関係が同時に成り立つことはない。
３つの式を合計すると
（∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ）＋（∠Ａ'＋∠Ｂ'＋∠Ｃ'）＝540°
となるが、２つの３角形の和が540°ということはありえないからだ。
同じく右の２つの関係が同時に成り立つこともない。
よって、右の関係が成立するのは１つの式だけである。よって左の式のうち少なくとも２つが同時に成立しなければならない。それは△ABCと△A'B'C'において少なくとも２つの角が等しいことを意味するので、この２つの３角形は相似である。

ここで質問です。
１）この証明をするために、画像の(b)は必要あるのでしょうか？
もし(b)を考えないでこの証明を解こうとする時、どういった不都合が考えられますか？

２）２つの同位角が等しいことを示すことで証明をすることもできそうなのに、どうしてわざわざ１つ１つの角をアプローチすることで証明しているのでしょうか？

読みにくい文章になってしまいましたが、どうか回答をお願いします。

回答No.1

aqfeplus

う～ん、少し考えたのですが、これは問題が悪いかもしれませんねぇ。

まず質問に直接答える前に、認識しておきたいのは、
画像(b)のパターンでは３角形ができないんですよ。
でも、３角形ができないことは少し考えただけでは証明できない。
証明できない以上、そのまま(b)の場合を考えるしかないのかなぁと思います。

で、質問の回答ですが、
＞１）この証明をするために、画像の(b)は必要あるのでしょうか？
すべての場合について考える必要があるので、示す必要があります。
ただ・・・(b)はA'とC'を入れ替えたパターンなので、これを考えるんだったら、
「A'とB'を入れ替えたパターン」、「A'とB'、A'とC'を入れ替えたパターン」も
考える必要はあると思います。

不都合云々に関しては、全ての場合を考えていないので、証明不備となります。

＞２）２つの同位角が等しいことを示すことで証明をすることもできそうなのに
(b)の場合は違います。ただ(b)はできることのない３角形なので、安易に同位角とか言えないので
ひとつひとつの角を調べるしか方法がないんですよね。

あと、上記の「A'とB'、A'とC'を入れ替えたパターン」の場合なら３角形はできて、
１８０℃回転させたような形になります。
この場合は錯角となりますから、少し示し方も変わるのかなと。

ともあれ、問題があまりよくない気がします。
この問題に固執しない方がよいかと・・・