複素平面上の三角形の相似について

質問

お世話になっております。表題の通りですが、細かい点で分からない部分がありますので質問させて下さい。

複素平面上で
三点A(α)、B(β)、C(γ)を結ぶ三角形ABCと、
三点A'(α')、B'(β')、C'(γ')を結ぶ三角形A'B'C'については
(γ-α)/(β-α)=(γ'-α')/(β'-α')が成立つ⇒△ABC∽△A'B'C'
が成り立つようですが、この命題は逆は真でなく、また二つの三角形が「同じ向き」のとき成り立つ、とありました。この「同じ向き」は具体的にどういった場合で分けて整理すればいいものかと、試しに簡単な三辺の比が1:1:√2の直角三角形を図にとってみて計算したのですが…順に
　実軸にかんして対称移動した場合は2組の辺の比の値は一致しませんでした。
　虚軸にかんして対称移動した場合も一致しませんでした。
　一方を平行移動して且つ拡大または縮小した他方との間で2組の辺の比の値は一致しました。

微妙ですが結局「同じ向き」とは、回転して一致(または相似)する場合や、対称移動して一致(または相似)する場合を除くという捉え方でこの場合は良いでしょうか？偏角も、角の大きさだけでなく、符号などもあわせて考えるべきでしょうか？

計算ミスは無いと思いますが、何分一般的に示す術が分からないので、ご助言いただけると有り難いです。宜しくお願いします。

回答No.3

rnakamra · ベストアンサー

それぞれの三角形の頂点をA,B,C、A',B',C'の順にたどったとき、時計回りになる場合と反時計回りになる場合の2種類があります。回る向きが同じであれば「同じ向き」となり、回る向きが逆であれば「逆の向き」です。

「逆の向き」の場合、ABから見たACの偏角とA'B'から見たA'C'の偏角の符号が逆になります。そのため(γ-α)/(β-α)と(γ'-α')/(β'-α')をr*exp(iθ)とあらわしたときのθの符号が逆(絶対値は等しい)になり、それはすなわちこの二つの値が複素共役になるということです。

お礼

ご回答ありがとうございました。
なるほど。そんな約束事があったのですか！まだまだ勉強不足です。

結局複素数独自のルールがあれど、複素平面上の三角形に対しては相似条件の一つ「二組の辺の比が等しく且つその二組の夾角が等しい」を示せば良い、という事ですよね？つまり差分の絶対値の比と、角の大きさが等しければ良いという事になるのでしょうか

回答No.2

f272

http://hooktail.maxwell.jp/kagi/c153866f077ba1434fc247c174ae690f.html
これが役に立つでしょう。

お礼

参考にします。ご回答ありがとうございました。

回答No.1

kabaokaba

「内側を左に見て回ること」（反時計周り）を普通は「正の向き」といいます．

三角形ABCを反時計回りに回るとこれは正の向き，
これを対称移動すると対応する点を結んでいくと
時計回りになるでしょう？
だからこれは向きを保たない．

一般に，図形Aを図形Bに変換するときに
その変換のヤコビアンが正であるときにその変換は向きを保ちます．
ヤコビアンってのが分からない場合は，
行列で表せる変換の場合は行列式だと思ってください．

なお向きというのは相似とかとは独立の概念です．

＃正確にはこの定義だとまあ変換ってのは微分できないといけないので
＃ちょっと甘いんだけど，こんなとこで．

お礼

ご回答ありがとうございます。すいません、大学レベルの知識は分かりません。