地球内部の万有引力

質問

ⅰ)２つの一様な球の間に働く万有引力をポテンシャルより求めよ。
ⅱ)また、仮に地球の中心を通る直径に沿って穴を作り、その中で質点を運動させたとする。質点はどのような運動をするか。ポテンシャルを考え、求めよ。

ⅰについてですが、普通に2点間の質点に働く万有引力を考えて良いのでしょうか？そしてなぜ質点とみなせるのでしょうか？球では半径などが関わってくると思うのですが。

ⅱは運動方程式からならおそらく解けるのですが、ポテンシャルUがどうなるのかが全くわかりません。どういう考え方でいけばいいのでしょうか？

回答No.1

YHU00444 · ベストアンサー

これは、かのニュートンも悩んだ問題ですが（微積分のルーツの一つ）、結論から言えば、球殻同士の相互作用として考えれば非常に簡単です。

(1)まず、球殻の作る万有引力ポテンシャルを考え、それが球殻の外と中でどのようなポテンシャルを作るかを見てみると、ある重要な結論が得られます。
(2)そのポテンシャル（もちろん外の方）の下で、（別の）球殻に掛かる力を計算してみると、これまた簡単な形になってしまうことが判ります。

ちなみに力はベクトルなので積分は大変ですが（系によほどの対称性がないと単純な計算にならない）、一方でポテンシャルはスカラー量ですから単に足しあわせればよく、その分計算etc.が簡単になる等のメリットがあるわけです。

回答No.3

YHU00444

まぁガウスの法則を知ってるのならこの手の積分は簡単でしょう。（というか、式自体はあまりに簡単なので、ココに書いてしまうと規約違反になってしまう）

とりあえず、球殻の半径をaとでもおいて、任意の点（中心からの距離r）からの球殻までの距離がどのように書けるかを考えれば、θ,φに関する積分がどのようになるかはほぼ自明のはず。（せいぜいθを適当に置換する程度）
※絶対値|r-a|がミソです

で、あとはその結果から質点との類似を考察して、ANo.2については積分と微分の順序がひっくり返せることに注目すれば、あとは質点と同じ扱いができることを（式の形を見ながら）言葉で説明すれば良いのではないかと。

※一様球のポテンシャルは場合分けして計算しましょう。

お礼

丁寧に計算したら積分できました。球殻の内部は0なんですね。
ありがとうございました。

回答No.2

YHU00444

ANo.1の(2)は、球殻のポテンシャル変化を考えた方が良いかもしれません。
※球Aの作るポテンシャルの下で、球殻がΔxだけ動いたときに球殻のポテンシャルエネルギーはΔUだけ変化するので、それを計算すればF=-Δ(ΣΔU）/Δxで引力を出せる。

お礼

回答ありがとうございます。

球殻というと電磁気のガウスの法則のように微分して積分していくのでしょうか？
自分には難しかったので実際の計算過程も載せていただけるとありがたいです。