部分分数分解：分母が(s-a)^mの場合

質問

http://okwave.jp/qa/q8035878.htmlでの私の質問に対して、
以下の公式と例をいただきました：

分母が(s-a)^mの場合（m乗の因数の場合）
[公式2]
n(s)/(s-a)^m=A_1/(s-a)+A_2/(s-a)^2 + … +A_m/(s-a)^m

[公式2]の例
　(s^2+3s+1)/(s+1)^4
=1/(s+1) -3/(s+1)^2 +6/(s+1)^3 -3/(s+1)^4

・・・早速、解いてみたんですけど、上のような答えにならないんです。
どうか間違いを指摘してください。

(s^2+3s+1)/(s+1)^4 = A/(s+1) + B/(s+1)^2 + C/(s+1)^3 + D/(s+1)^4
両辺に(s+1)^4を掛けます
s^2+3s+1 = A(s+1)^3 + B(s+1)^2 + C(s+1) + D
s^2+3s+1 = A(s^3 + 3s^2 + 3s +1) + B(s^2 + 2s + 1) + C(s+1) + D
s^2+3s+1 = As^3 + 3As^2 + 3As + A + Bs^2 + 2Bs + B + Cs + C + D
s^2+3s+1 = As^3 + 3As^2 + Bs^2 + 3As + 2Bs + Cs + A + B + C + D
0s^3 + 1s^2 + 3s + 1 = As^3 + (3A + B)s^2 + (3A + 2B + C)s + (A + B + C + D)

{ 0 = A　　　　　　　　　…(1)
{ 1 = 3A + B　　　　　　…(2)
{ 3 = 3A + 2B + C　　　…(3)
{ 1 = A + B + C + D　　…(4)

いきなり、A=0ですから雪崩式に
{ A = 0
{ B = 1
{ C = 1
{ D = -1

よって、
=0/(s+1) +1/(s+1)^2 +1/(s+1)^3 -1/(s+1)^4

・・・と思ったんですけど・・・違うんですよね？
連立方程式を立てるところまでは合っていますか？
教えてください。お願いします。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

連立方程式を立てなくても、(s^2+3s+1)/(s+1)^4　を部分分数にする簡単な方法は、

s+1=t　と置けば、
s^2+3s+1=(t-1)^2+3(t-1)+1=t^2-2t+1+3t-3+1=t^2+t-1
なので、
=0/(s+1) +1/(s+1)^2 +1/(s+1)^3 -1/(s+1)^4
で合っています。

=1/(s+1) -3/(s+1)^2 +6/(s+1)^3 -3/(s+1)^4
となるのは、2乗ではなく3乗、(s^3+3s+1)/(s+1)^4　ですね。

お礼

なるほど、置換すればどこの累乗に数字が立つか一目瞭然ですね。
そんな機転は自分一人では浮かびそうにないです。
2乗ではなく3乗でしたか。
自分の計算が合っていてホッとしました。
ありがとうございました。

回答No.3

info22_

前の質問のNo2で回答したものです。

前の質問で、補足質問が来ませんでした気が付きませんでした。
改めて、前の質問の方で、公式2の例と公式3の例の３番目について部分分数分解にミスがありましたので訂正させていただきました。

[公式2]の例について
>(s^2+3s+1)/(s+1)^4
誤：　=1/(s+1) -3/(s+1)^2 +6/(s+1)^3 -3/(s+1)^4
正：　=0/(s+1) +1/(s+1)^2 +1/(s+1)^3 -1/(s+1)^4
従って、質問者さんの
>=0/(s+1) +1/(s+1)^2 +1/(s+1)^3 -1/(s+1)^4
で合っています。
>・・・と思ったんですけど・・・違うんですよね？
失礼しました。

なお、前の質問の
「[公式3]の例」の３番目にもミスがありましたので訂正下さい（先の質問にも訂正回答済です）。
>36s^2/((s-1)(s-2)(s+1)^3 (s+2)^2)
誤：=-(1/2)/(s-1) +(1/6)/(s-2)
-(109/6)/(s+1) +13/(s+1)^2 -6/(s+1)^3
+(37/2)/(s+2)+6/(s+2)^2
正：-(1/2)/(s-1) +(1/3)/(s-2)
+(187/6)/(s+1) -19/(s+1)^2 +6/(s+1)^3
-31/(s+2)-12/(s+2)^2

お礼

補足で質問しようとも思ったのですが、
自分の間違いの可能性が高かったことと
長くなるだろうなと思ったので
やめておきました。
でも良いトレーニングになりました。
むしろ感謝しています。
ありがとうございました。

回答No.1

okormazd

「よって、
=0/(s+1) +1/(s+1)^2 +1/(s+1)^3 -1/(s+1)^4

・・・と思ったんですけど・・・違うんですよね？」
なにが違うというのでしょうか。

=0/(s+1) +1/(s+1)^2 +1/(s+1)^3 -1/(s+1)^4
=(s^2+3s+1)/(s+1)^4

だと思うが、違っているというのはどこだろう。いま、酔っ払っているからわからないのかな。

お礼

酔っているのに検算してくださったんですね。
おっしゃるとおり、結果は合っていましたね。
ありがとうございました。