メビウスの帯を中央で縦に分割した際のねじれの数

質問

この場合のねじれの数を実際に確認する簡単な方法はありますか。

回答No.11

alice_44 · ベストアンサー

最初のネジレ n が奇数でも、偶数でも、
切った後の帯に表裏があることは、共通です。
n が偶数の場合、切った帯は二つに別れますから、
2n+2 のネジレを、n+1 づつ分け合うことに
なります。

お礼

ご教示感謝いたします。

補足

偶数の場合には二つに分かれてもｎ+１ではなくｎのままだと思いますが、これは前にいただいたご説明にある新たなネジレが生まれないということでしょうか。

回答No.10

alice_44

あー、申し訳ない。4n じゃないですね。
実物を作ればすぐ判るように、メビウスの帯を切ったものには
裏表の区別があって、4 周じゃなく、2 周すると、もとの点に
戻ってしまいます。

ある程度長い紙帯を使って n 回ネジレの輪を作り、
全長の大部分を平坦に延ばして、ネジレを一箇所に集めます。
輪を帯の中央で切り分けると、n 回ネジレの塊が二ヶ所、
つなぎ目も二ヶ所にできます。

こうして用意した輪の表面を、帯上の一点から同じ点まで一周すると、
ネジレ塊を越えるときに n 回づつ、つなぎ目を越えるときに 1 回づつ、
ネジレが起こるように見えます。だから、輪のネジレは 2n+2 回。

ネジレ塊のほうはいいとして、つなぎ目を越えるときに 1 回ネジレる
理由は、そこで紙帯の表と裏を乗り換えるからです。紙帯を輪にせずに
平らに置いてあったとしたら、身をひねらないと表から裏へ移れません。
その分が 1 ネジレになります。

補足

偶数回ネジったときも含めた統一的なご説明はいただけませんか。偶数回だと裏と表が分かれているからとしても２n＋２が成立しないでｎが二つになるというのは２ｎというような表現が成り立つでしょうか。できればひとつの式で表せればと思いました。

回答No.9

alice_44

メビウスの帯を切ると、
切った左右と、帯にする前の紙の表裏で、
合計４つの長方形の面ができます。

切った後の帯上をたどると、
４つの長方形を順に通過して
１周することになります。

再び、切る前のメビウスの帯に戻って、
４つの長方形がどのように並んでいるかを考えると、
切った後の１周は、メビウスの帯上を４周している
ことになると解ります。

よって、切った後のネジレは４回です。

お礼

なるほど、これなら私にもたどれそうな道筋です。どうもありがとうございました。補足のほうに逆戻りのような質問をさせていただきました。

補足

メビウスの帯に限らず奇数回のネジレをもった帯については、切った後のネジレの数が、元のネジレの数をｎとすると
２（ｎ+１）であらわされることとの関連についてはいかがでしょうか。

回答No.8

ask-it-aurora

<回答No.7補足

失礼，その通りです．訂正します．また（たぶん必要ないと思いますが）行き違いのないように反時計回りに180度としましょう．

回答No.7

ask-it-aurora

<回答No.6補足

うーん．やっぱりわかりません．

たとえば「ネジレノスウ」を短冊形の紙の一端をもう一方にくっつける直前に90度ひねった回数のことを指すとしましょう．この定義によれば，ふつうの帯の「ネジレノスウ」は0，メビウスの帯の「ネジレノスウ」は1です．しかし，メビウスの帯を紙の中線に沿って切り離してできた図形にはこの「ネジレノスウ」は定義されません．なぜならこれは紙の一端をもう一方にくっつける前に何度ひっくり返しても実現できないからです（これを見るには紙の裏と表が入れ替わる繋ぎ目がいくつあるか数えてみればわかります）．なので，仮にこの「ネジレノスウ」を採用した場合は，あなたの問はそもそも意味を成しません．

そこでもう一度質問します．あなたのいう「ねじれの数」の定義はなんですか？

補足

メビウスの帯では９０度ではなく１８０度ひねってはいませんか。

回答No.6

ask-it-aurora

<回答No.5お礼

補足説明ありがとうございます．が，肝心の質問を答えてくれていませんね．「ねじれの数」の定義は何ですか？（別に形式的な定義は期待していませんが，今のところ「ねじれ」という日本語のイメージからの類推しかできないので，あなたが何を意図しているのかハッキリしないのです．）

補足

メビウスの帯のねじれの数を１としていますのでおわかりいただけたかと思っておりました。

回答No.5

ask-it-aurora

きちんとした回答を得るために質問をひとつ．あなたのいう「ねじれの数」の定義はなんですか？その定義によるとふつうの帯，メビウスの帯（切る前）の「ねじれの数」はそれぞれいくつですか？

お礼

ご注意ありがとうございます。ねじれの数については、普通の帯は０、メビウスの帯は１だと思います。また縦に二分した場合、ねじ絵の数をｎとしますと、新しくできた帯のねじれは
２（ｎ+１）ではないでしょうか。したがってメビウスの帯を中央で二分すると４回ねじれているのではないでしょうか。どうして４回のねじれが出現するのかその現場を見てみたいという感じです。

回答No.4

ask-it-aurora

<回答No.2, 3

あぁひどいひどい．支離滅裂ですね．あとで上げ直します．

お礼

ご指摘の質問はわたくしがしたものでした。単なる老化です。当時のご親切なご回答をあらためて読ませていただきました。言い訳がましいのですが、あまり高度な数学ではなく素朴な紙細工のようなもので見てみたいというところが前とは少し違うのではないかと思います。ぜひ貴方のご教示を図解でいただけることをお待ちしております。

回答No.3

ask-it-aurora

<回答No.2

これじゃただの輪ですね（汗）．対応する矢印の向きを逆にして読んでください．あと三角形のように見えるところも誤解を招くような描き方ですね．そこは台形です．

回答No.2

ask-it-aurora

実際に手を動かすのがいいと思いますが，もし図で考えるならこうでしょう．

また過去に似た質問もあったようなので参考までに．

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q3164325.html

回答No.1

bin-chan

「チラシでも切って帯を作り、実験する」じゃダメですか？

お礼

ご教示と同じやり方で何べんも試していますが、四回のねじれがどのようにして出現してくるのかなかなか見えてきません。