自然数の分割に関連する質問

質問

1.和が n(>1) になる自然数の組合せ(注1)に対し、並べ方の総数が最大となる自然数の組み合わせ(注2)を式で導出することは可能でしょうか？可能ならばその式を教えてください。

2.また、上記の、和がnになる自然数の組合せに対し、並べ方の総数が最大となるような自然数の組み合わせを求めるということが、実際の社会、学問等におけるなんらかの意味のある問題を考える際に必要であれば、その必要となる具体的状況を教えてください。

2だけの回答でもかまいません。よろしくお願いします

注1　n=5の場合　(5),(4,1),(3,2),(3,1,1),(2,2,1),(2,1,1,1),(1,1,1,1,1)の7通り

注2　n=5の場合　(2,1,1,1)は(1,2,1,1),(1,1,2,1),(1,1,1,2)を含め並べ方は全部で4通りあり、
　　　　　　　　　　 (2,1,1,1)が並べ方の総数が最大となる自然数の組み合わせである。
　　　n=6の場合　(3,2,1)と(2,2,1,1)が並べ方の総数が最大となる自然数の組み合わせである。

回答No.1

tatsumi01

よくわかりませんが、ラマヌジャンの定理で検索したらいかがでしょう。
なんで、ラマヌジャンがこんな式を発見したかわかりません。

補足

回答ありがとうございます。
確かにラマヌジャンは自然数の分割に関連した分割数の漸近挙動
p(n)～exp(π√(2n/3))/4n√3
参照サイトhttp://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/bokan.htm
を得ているようですが、これと上で私が書いた問題とはそれほど関係がないように思います。tatsumi01さんがおっしゃるラマヌジャンの定理というのはこれのことではないかもしれませんが。（”ラマヌジャン　定理”で検索してもわかりませんでした。）

1.の質問事項についてですが、式と書きましたが、推測から考えられる近似的な式でもかまいません。
n=7からn=15までは並べ方の総数が最大となる自然数の組み合わせは下のようになると思います。
n=7のときは　(3,2,1,1)
n=8のときは　(3,2,1,1,1)
n=9のときは　(3,2,2,1,1),(3,2,1,1,1,1)
n=10のときは　(3,2,2,1,1,1)
n=11のときは　(3,2,2,1,1,1,1)
n=12のときは　(3,2,2,1,1,1,1,1)
n=13のときは　(3,2,2,2,1,1,1,1)
n=14のときは　(3,2,2,2,1,1,1,1,1)
n=15のときは　(4,3,2,2,1,1,1,1),(3,2,2,2,1,1,1,1,1,1)