数学３の図形の平行移動についての基本

質問

高１です。参考書の基本的な説明のところで理解ができません。添付の写真の下のほうで
「そうですね。つまり、二次曲線C'上の点（ｘ’、ｙ‘）は方程式ｆ（ｘ－ｐ、ｙ－ｑ）＝０をみたしている」というところが理解できません。
ｘ’はｘ＋ｐでｙ’はｙ＋ｑなので、ｆ（ｘ＋ｐ、ｙ＋ｑ）＝０をみたすというようになるきがしてしまいます。
すいませんが、教えてください。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

(x',y') という書き方が、勘違いの大本です。
別の文字を使ってみましょう。

曲線 C : f(x, y)=0 上の点 (s,t) が、
x 軸方向に p、y 軸方向に q だけ平行移動して
点 (u,v) に移ったとします。
f(s, t) = 0,
u = s + p,
v = y + q　です。

上式から s, t を消去すると、
f(u - p, v - q) = 0.
この式が表すものが、(u,v) の軌跡ですから、
曲線 C を x 軸方向に p、y 軸方向に q 平行移動した
曲線 C' の方程式は f(x - p, y - q) = 0 です。

お礼

分かり易い解説ありがとうございました。理解できそうな気がします。もう少し考えてみたいと思います。

回答No.2

j-mayol

簡単な関数に置き換えて説明しますね。
例えば　y=(x-a)^2+b という二次関数にしましょう。
この二次関数のグラフは　y=x^2 のグラフをx軸の正の方向にａ　ｙ軸の正の方向にｂだけ平行移動したものになりますね。このグラフ上の点を（x',y')とします。
ここでf(x)=x^2とすると（x',y'）はこのグラフ上の点ではありませんのでy'＝x'^2は成り立ちません。あくまでもy'＝(x'－a)^2+b　を満たすだけです。では（x',y'）をどうすればy=x^2に代入した際成り立つようにできるのか考えてみると、（x',y')はy=x^2上の点をx軸の正の方向にａ　ｙ軸の正の方向にｂだけ平行移動したものです。もとの場所に戻してやればy=x^2を満たすはずですね。
ということは（x',y')をx軸の負の方向にａ　ｙ軸の負の方向にｂだけ平行移動すればもとのy=x^2を満たす
つまり(x'-a,y'-b）はy=x^2を満たすわけです。これを代入してやればy'-b=(x'-a)^2というy'とx'との関係式つまり平行移動した後のグラフの式が出てくるわけです。

お礼

ありがとうございました。参考にさせていただきもう少し考えてみたいと思います。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

＞「そうですね。つまり、二次曲線C'上の点（ｘ’、ｙ‘）は方程式ｆ（ｘ－ｐ、ｙ－ｑ）＝０をみたしている」
その直前で、
「(2)に代入すれば、f( x’- p, y’- q)＝ 0となります。」
と書かれていますね。
点(ｘ’, y’)については、その式が成り立つところは理解していると思います。

ところが、考えている座標平面が「xy座標」なので、
図形を表す方程式は(x’, y’)ではなく (x, y)の関係式として与えられなければいけません。
そこで、x’→ x、y’→ yと言い換えているのです。

ただの式の変形というのではなく、どの点のことを指しているのかに注目するのがいいと思います。

お礼

ありがとうございました。言い換えについてもう少し考えてみたいと思います。