この問題教えてください

質問

曲線ｙ＝ｘ＾２上の異なる２点Ｐ（a,a^2),Ｑ(b,b^2)における接線を、それぞれl,mとする。このとき、次の問に答えろ。
（１）lとmの交点Ｒの座標を、a,bを用いてあらわせ。
（２）θ＝∠ＰＲＱとする。Ｒが｛（√3＋1)/2,(2√3＋3)/4}に一致するとき、(tanθ）＾2および（tan2θ)^2を求めよ。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞曲線ｙ＝ｘ＾２上の異なる２点Ｐ（a,a^2),Ｑ(b,b^2)における接線を、それぞれl,mとする。このとき、次の問に答えろ。
y'＝2x　接線lの傾き＝2a，　y－a^2＝2a(x－a)　より、接線l：y＝2ax－a^2
　　　　同様にして、接線m：y＝2bx－b^2　

＞（１）lとmの交点Ｒの座標を、a,bを用いてあらわせ。
2ax－a^2＝2bx－b^2　とおくと、
2(a－b)x＝a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)　P,Qは異なる2点だから、a－b＝0でないから、
2x＝a＋b　より、x＝(a＋b)/2　y＝2a{(a＋b)/2}－a^2＝ab　
よって、交点R（(a＋b)/2，ab）

＞（２）θ＝∠ＰＲＱとする。Ｒが｛（√3＋1)/2,(2√3＋3)/4}に一致するとき、
(tanθ）＾2および（tan2θ)^2を求めよ。

(a＋b)/2＝（√3＋1)/2　より、a＋b＝√3＋1，　b＝(√3＋1)－a　
ab＝(2√3＋3)/4　に代入して、a{(√3＋1)－a}＝(2√3＋3)/4
4a^2－4(√3＋1)a＋(2√3＋3)＝0　
解の公式より、a＝｛(√3＋1)±1}/2　から、a＝√3/2，(√3/2)＋1
a＝√3/2　のとき、b＝(√3/2)＋1
a＝(√3/2)＋1　のとき、b＝√3/2
どちらにしても結果は同じなので、
a＝√3/2，b＝1＋(√3/2)　とすると、
P（√3/2，3/4），
{1＋(√3/2)}^2＝(7/4)＋√3　より、Q（1＋(√3/2)，(7/4)＋√3）

PR^2＝{(√3/2)＋(1/2)－(√3/2)}^2＋{(√3/2)＋(3/4)－(3/4)}^2
＝(1/2)^2＋(√3/2)^2
＝1　より、PQ＝1
QR^2＝{(√3/2)＋(1/2)－1－(√3/2)}^2＋{(√3/2)＋(3/4)－(7/4)－√3}^2
＝(-1/2)^2＋{-1-(√3/2)}＾2
＝(1/4)＋(7/4)＋√3
＝2＋√3
QR＝√(2＋√3)＝√{(4＋2√3)/2}＝√{(√3＋1)^2/2}＝(√3＋1)/√2
＝(√6＋√2)/2
PQ^2＝{1＋(√3/2)－(√3/2)}^2＋{(7/4)＋√3－(3/4)}^2
＝1^2＋(1＋√3)^2
＝5＋2√3

余弦定理より、θ＝∠ＰＲＱだから、
cosθ＝(PR^2＋QR^2－PQ^2)/2・PQ・QR
＝{1＋(2＋√3)－(5＋2√3)}/2・1・{(√6＋√2)/2}
＝－(2＋√3)/(√6＋√2)
＝－(2＋√3)(√6－√2)/(6－2)
＝－(√6＋√2)/4　より、
cos^2θ＝(1/16)(√6＋√2)^2＝(1/16)(8＋4√3)＝(2＋√3)/4
sin^2θ＝1－{(2＋√3)/4}＝(2－√3)/4

よって、
tan^2θ＝sin^2θ/cos^2θ
＝{(2－√3)/4}/{(2＋√3)/4}
＝(2－√3)^2/(4－3)
＝7－4√3

２倍角の公式より、tan(2θ)＝2tanθ/(1－tan^2θ)　より、
tan^2（2θ)＝4tan^2θ/(1－tan^2θ)^2
1－tan^2θ＝1－(7－4√3)＝4√3－6＝2(2√3－3)　より、
よって、
tan^2(2θ)＝4・(7－4√3)/4・(2√3－3)^2
＝(7－4√3)/(21－12√3)
＝(7－4√3)/3(7－4√3)
＝1/3

(tanθ）＾2＝7－4√3　および（tan2θ)^2＝1/3

P,Qの座標を求めて地道に計算したほうが解きやすいと思いました。
計算を確認してみてください。

回答No.1

info22_

(1)a≠bとして
l:y=2a(x-a)+a^2 → y=2ax-a^2 ...(A)
m:y=2b(x-b)+b^2 → y=2bx-b^2 ...(B)

(A),(B)を連立にして解けば
x=(a+b)/2, y=ab
∴ R((a+b)/2,ab)

(2)
(1)で求めたRの座標から
(a+b)/2=(√3+1)/2　→ a+b=√3+1 ...(C)
　ab = (2√3+3)/4 ...(D)

△PQRに余弦定理を用いて
cosθ={(a-(a+b)/2)^2+(a^2-ab)^2+(b-(a+b)/2)^2+(b^2-ab)^2-(a-b)^2-(a^2+b^2)}/(2*√{((a-(a+b)/2)^2+(a^2-ab)^2)*((b-(a+b)/2)^2+(b^2-ab)^2)})
={2((a+b)^2-2ab)^2-4ab(a+b)^2+8(ab)^2+8ab-3(a+b)^2}
/{((a+b)^2-4ab)*√(1+8(ab)^2+4(a+b)^2)}

この計算は自信ないのでこの先はやり方だけにします。

(C),(D)を代入して
　cosθ=　…

これを公式1+tan^2(θ)=1/cos^2(θ)に代入して

　tan^2(θ)=-1+(1/cos^2(θ))

を求める。

2倍角公式：tan(2θ)=2tanθ/(1-tan^2(θ))を用いて
　tan^2(2θ)=4tan^2(θ)/(1-tan^2(θ))^2

これに先に求めたtan^2(θ)を代入して
　tan^2(2θ)=　…
を計算すればよい。