簡単な計算式への変換

質問

以下の式をΣの無い簡単な計算式に変換したいです。

Σn * (1/6) * (5/6)^(n-1)
（n=1,2,3・・・）

よろしくお願いします。

回答No.3

ereserve67 · ベストアンサー

無限級数ではなかったのですか．

（☆）S_N(x)=Σ_{n=1}^Nnx^{n-1}

=1+2x+3x^2+・・・+Nx^{N-1}

とおきましょう．

（★）xS_N(x)=Σ{n=1}^Nnx^n

=x+2x^2+・・・+(N-1)x^{N-1}+Nx^N

☆-★より

(1-x)S_N(x)

=1+x+x^2+・・・+x^{N-1}-Nx^N

=(1-x^N)/(1-x)-Nx^N

∴S_N(x)=(1-x^N)/(1-x)^2-Nx^N/(1-x) (x≠1)

よって

(1/6)S_N(5/6)

=6-6(5/6)^N-N(5/6)^N

となります．

お礼

丁寧な対応ありがとうございます。
助かりました！

回答No.2

ask-it-aurora

1/6 はすべての項にかかっているので a_n = n*(5/6)^(n - 1) とおいて級数 Σ a_n を考えれば十分です．

まずは収束性について．ダランベールの判定法より確かに収束します：
a_(n + 1)/a_n = 5/6 + 5/6n
となるので n >= 6 のとき
a_(n + 1)/a_n <= 35/36 < 1
が成り立ちます．

そこでその値を S とおきます． 5/6 倍して差をとると無限等比級数が出てくるのでかんたんに計算ができます：
S = 1 + 2(5/6) + 3(5/6)^2 + …,
(5/6)S = 1(5/6) + 2(5/6)^2 + ….
よって
S/6 = (1 - 5/6)S = 1 + (5/6) + (5/6)^2 + … = 1/(1 - 5/6) = 6.
したがって S = 36 とわかったので最後に 1/6 倍すればもとの級数は 6 と等しいとわかります．

## つまり等比数列の和を出すのと同じ要領ですね．

お礼

わかりやすい解説ありがとうございます。

回答No.1

ereserve67

（☆）S(x)=Σ_{n≧1}nx^{n-1}

とおくと，求めるものは

（★）(1/6)S(5/6)

ですね．

さて，|x|<1のとき☆は次のように変形できます：

S(x)=Σ_{n≧0}nx^{n-1}=Σ_{n≧0}dx^n/dx

=d(Σ_{n≧0}x^n)/dx

=d(1/(1-x))/dx

=1/(1-x)^2

★に適用して

(1/6){1/(1-5/6)^2}=(1/6)6^2=6

となります．

お礼

早速の回答ありがとうございます！

nが有限の場合を求めたいので（例えばn=1～6の場合）、できればその数式を教えてもらえると助かります。