解法を教えてください！

質問

数III微積の問題です！

C：y=3logxに原点Oから引いた接線をLとし、C，Lおよびｘ軸が囲む図形をDとする。

（１）Dの面積S
（２）Dのｘ軸のまわりの回転体の体積V
（３）Dのｙ軸のまわりの回転体の体積V

答えがでなくて困ってます

よろしくお願いします！

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

（１）
Dの面積S
Lの式
y=3log(x)
y'=3/x
接点を(p,3log(p)とおくと
L:y=(3/p)(x-p)+3log(p)
y=(3/p)x-3+3log(p)
y=(3/p)x+3log(p/e)
これが原点を通ることから
3log(p/e)=0
p/e=1
　∴p=e
従って
　∴L:y=(3/e)x

D={(x,y)|0<y<(3/e)x(0<x<1),3log(x)<y<(3/e)x(1<x<e)}
S=∫(0→1)(3/e)x dx+∫(1→e)(3/e)x-3log(x) dx
=(3/e)∫(0→e)x dx -3∫(1→e)log(x) dx
=(3/e)[x^2/2](x=0→e)-3{xlog(x)-∫1dx}(x=1→e)
=(3/2)e-3{e-(e-1)}
=(3/2)e-3 (eはネイピア数つまり自然対数の底）

（２）
Dのｘ軸のまわりの回転体の体積Vは

V=π∫(0→e){(3/e)x}^2 dx-π∫(3log(x))^2 dx

で求められます。
積分は自力でやってみて下さい。

分からなければ、補足に途中計算を書いて詰まってる所をきいてください。

（３）
y=3log(x)をxについて解くと x=e^(y/3)
y=(3/e)xをxについて解くと x=(e/3)y
なので

Dのｙ軸のまわりの回転体の体積Vは

V=π∫(0→3){(e^(y/3))^2}dy -π∫(0→3){(e/3)y}^2 dy
=π∫(0→3) e^((2/3)y) dy -π{(e/3)^2}∫(0→3)y^2 dy

で求めることができます。
積分を自力でやってみて下さい。

分からなければ、補足に途中計算を書いて詰まってる所をきいてください。

お礼

ありがとうございます！

無事に答えにたどり着くことができました。

回答No.3

yyssaa

（１）Dの面積S
＞y'=3/xだから接点(a,b)は、b=3loga、b/a=3/aからb=3、a=e
ここでeは自然対数の底。よって
S=3e/2-∫[x=1→e]3logxdx=3e/2-3(xlogx-x)[x=1→e]
=3e/2-3{(eloge-e)-(log1-1)}=3e/2-3{(e-e)-(0-1)}=3e/2-3・・・答
（２）Dのｘ軸のまわりの回転体の体積V
＞Lが作るの体積は底面が半径3の円で高さがeの円錐の体積だから
(1/3)e*9π=3eπ
Dが作る体積は∫[x=1→e]π(3logx)^2dx=9π∫[x=1→e](logx)^2dx
ここでlogx=tとおくとx=e^t、dx=e^tdtから
∫(logx)^2dx=∫t^2*e^tdt=t^2*e^t-2∫t*e^tdt
=t^2*e^t-2t*e^t+2∫e^tdt
=t^2*e^t-2t*e^t+2e^t+C(定数)だから
∫[x=1→e](logx)^2dx=∫[t=0→1]t^2*e^tdt
=(t^2*e^t-2t*e^t+2e^t)[t=0→1]=e-2
よって、V=3eπ-9π(e-2)=(18-6e)π・・・答
（３）Dのｙ軸のまわりの回転体の体積V
＞Lが作るの体積は底面が半径eの円で高さが3の円錐の体積だから
(1/3)*3πe^2=πe^2
Dが作る体積はy=3logxの逆関数x=e^(y/3)を使ってy=0からy=3まで
積分して求める。∫[y=0→3]π{e^(y/3)}^2dy
=π∫[y=0→3]e^(2y/3)dy=π∫[s=0→2](3/2)*e^sds
=(3/2)π(e^2-1)
よって、V=(3/2)π(e^2-1)-πe^2=(e^2-3)π/2・・・答

お礼

丁寧な解答でたすかりました！

ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

少なくとも (1) は素直にやれば出るんじゃないの?

あなたが何をどう考えどう計算してどこで困ってるのか知らんけど.