回転体の体積をバウムクーヘン法で求めたいのですが

質問

ｘｙ平面上のｙ＝ｘ^2－２ｘとこの曲線上の(２，０)における接線(ｙ＝２ｘ－４）に囲まれる部分を、ｙ軸の周りに１回転して出来る体積をバウムクーへん法で求めたいのですが、上手く求まりません。どなたか、お判りの方、おられましたら、宜しく、ご教示お願い致します。

回答No.4

bran111 · ベストアンサー

バウムクーヘン法は物体を薄い皮に剥いていって、皮の体積から物体の体積を求める方法です。バウムクーヘン法は黄色と茶色の層が交互に重なってケーキ(Kuchen)を作っています。１層が一枚の皮です。
　一枚の皮の体積dＶは皮の面積×厚さです。皮の面積は円周×長さです。
　円周は半径がxなので2πx,
　長さはy,この場合y=x^2-2x-(2x-4)=x^2-4x+4ということを確認してください.。
　厚さ=dx。
よって、
dV=2πxydx
全部足し合わせればケーキ全体の体積Ｖ、ということで
　　Ｖ＝ΣdV＝Σ2πxydx
足し合わせはそっくり積分に変換され、計算を実行することができます。
　　Ｖ＝Σ2πxydx=∫(0→2)2πxydx
yを代入して
　　Ｖ=2π∫(0→2)x(x^2-4x+4)dx=2π∫(0→2)[x^3-4x^2+4x]dx
=2π[x^4/4-4x^3/3+4x^2/2](0→2)=2π[2^4/4-4×2^3/3+4×2^2/2]=8π/3

バウムクーヘン法とはいかにも食欲をそそる方法、しかしその本質は積分そのもの、回転体の体積を積分で求めることに他ならないということを理解してください。

お礼

どうも有難うございました。
丁寧に書いて頂き、大変良く判りました。

回答No.3

atkh404185

x、x+dx で、
回転軸（ｙ軸）に平行な直線を引き（図形を切り取り）、
それを、ｙ軸まわりに１回転させると、
内径が x、外径が x+dx の
バウムクーヘンの一部分（ドーナツ状）になります。
それを切って伸ばすとカステラのような直方体（もどき）になります。
縦 x、横 2πx、高さ y=(x^2-2x)-(2x-4)
です。

これを、x=0 から x=2 まで足し集めればよい（？）から、

体積Ｖは

Ｖ=∫[0,2]2πx{(x^2-2x)-(2x-4)}dx
=2π∫[0,2]x(x^2-4x+4)dx
=2π∫[0,2](x^3-4x^2+4x)dx
=2π[x^4/4-4x^3/3+2x^2][0,2]
=2π(4-32/3+8)
=(8/3)π

ではないでしょうか。

お礼

どうも有難うございました。
大変良く判りました。

回答No.2

info222_

V=2π∫[0,2] x((x^2-2x)-(2x-4))dx
=2π∫[0,2] (x^3-4x^2+4x)dx
=2π[x^4/4-4x^3/3+2x][0,2]
=2π(4+32/3+4)
=112π/3 ... (答)

回答No.1

shintaro-2

>バウムクーへん法で求めたいのですが、

それが正に積分のことを意味します。
バウムクーヘンの厚みが厚いと誤差が大きいので、
だんだん小さくして、限りなく０にしたものが積分です。

Y=2X-4とX軸とでつくられる円錐から
ｙ＝ｘ^2－２ｘとX軸とでつくられる変形ドーナツの半分を引くと言うことですね。