体積の問題

質問

原点OとA（１,0,0）,B(1,1,0)として△OABをx軸の周りに一回転させたものをy軸の周りに一回転させた回転体の体積を求めよ

という問題です

模範解答ではある平面でスパッと切ってその断面を積分して求めていたんですが、
私は√２の球-２｛（半径1で高さが１の三角錐）＋π∫[１→√2](2-x^2）dx ｝と考えました

しかし答えの8/3πと合いません・・・

この考え方はあっているのでしょうか。考え方があってるかどうかだけ教えてください。あとは自分で計算します

お願いします

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>模範解答ではある平面でスパッと切ってその断面を積分して求めていたんですが、
>私は√２の球-２｛（半径1で高さが１の三角錐）＋π∫[１→√2](2-x^2）dx ｝と考えました。

質問者さんの計算式は間違いです。

>しかし答えの(8/3)πと合いません・・・

この答えで合っています。この答えにならないなら計算ミスしているのでしょう。

>この考え方はあっているのでしょうか。考え方があってるかどうかだけ教えてください。

間違っています。

正しい体積Vの式は

V={√2の球}-2{(底面の円の半径1、高さが1の円錐)＋π∫[１→√2](2-y^2）dy }

となります。計算は質問者さんがされるとのことですから、やってみてください。
分からなければ、途中計算をつけて補足で質問してください。

添付図を参考にして考えると立体的なイメージがわかりやすいでしょう。
模範解答の切断面は扇形OBDCであり、これをy軸のまわりに一回転したのが体積を求める立体になります。半径√2の球からy軸を中心軸とする対向する２つの円錐コーンで切り取った立体です。ピンクの円錐が△OABをx軸のまわりに一回転してできる立体の円錐になります。
ピンクの円錐をy軸のまわりに一回転した時に円錐が通過する領域の立体で、体積を求める立体になります。

お礼

{4/3π（√2）^3}-2{(１/3)π×(1)^2×1+π[2y-(1/3)y^3][１→√2]}=8√2π/3-2{(１/3)π+π（4√2/3-5/3）}
=8√2π/3-8√2π/3+8/3π＝8/3π

合いました！　詳しい解説と綺麗な立体図に感動しました！

ありがとうございます

回答No.1

at9_am

> この考え方はあっているのでしょうか。考え方があってるかどうかだけ教えてください。あとは自分で計算します

間違っています。形が違うためです。

具体的には、円錐部分の他、球の上下（地球儀でいえば北極・南極部分）も引く必要があります。

補足

それがπ∫[１→√2](2-x^2）dxに相当します