ロンスキアンの問題

質問

数学の問題がわからないので、どなたか教えてください

u(x)，v(x)が線形独立のとき、W(u,v)が恒等的には0でないことを証明せよ

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

u(x),v(x)が線形独立で
W(u,v)=u(x)v'(x)-v(x)u'(x)=0と仮定すると
v(x)u'(x)=u(x)v'(x)
u'(x)/u(x)=v'(x)/v(x)
∫(u'(x)/u(x))dx=∫(v'(x)/v(x))dx
log|u(x)|=log|v(x)|+c
log|u(x)/v(x)|=c
|u(x)/v(x)|=e^c
u(x)/v(x)=±e^c=C
u(x)=Cv(x)
u(x)-Cv(x)=0
となって
u(x),v(x)が線形独立である事に矛盾する
∴
W(u,v)≠0

お礼

ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.2

ereserve67

(1)Cu+Dv=0

とおくと，u,vは一次独立だから，

（☆）C=D=0

(1)の両辺を微分して

(2)Cu'+Dv'=0

(1)，(2)は行列で

「u v　「C＝「0
u' v'」 D」　　0」

これが☆の解しかもたないためには
u'v-uv'=W(u,v)≠0

である．

お礼

ありがとうございましたm(_ _)m