Σの絡んだ導関数の求め方
微分方程式 (d^2 y)/(dx^2) - y = 0 の級数解について次の問に答えなさい。
(1) 級数解を y(x) = x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i とおいたとき、係数 a[i] について漸化式を求めよ。ただし、a[0] ≠ 0 であるとする。
解答
y(x) = x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i
(d^2 y)/(dx^2) = x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)(c+i-1)a[i] * x^(i-2)
・・・とまだまだ続くのですが、この
(d^2 y)/(dx^2) = x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)(c+i-1)a[i] * x^(i-2)
の
Σ[i=0,∞]
は
Σ[i=2,∞]
の間違いじゃないんですか？
ただそうなると、これを基にこの後の計算も書かれているので、辻褄が合わなくなりますけど…。
この章の最初にこういう記述があります：
y(x) = Σ[i=0,∞] a[i] * x^i
を項別に微分すると、1次および2次の導関数は次のようになる。
dy/dx = Σ[i=1,∞] i * a[i] * x^(i-1) ←このi=1になる理由を明確にしたい
= Σ[i=0,∞] (i+1) * a[i+1] * x^i
(d^2 y)/(dx^2) = Σ[i=2,∞] i(i-1) * a[i] * x^(i-2)
= Σ[i=0,∞] (i+2)(i+1) * a[i+2] * x^i
この
dy/dx = Σ[i=1,∞] i * a[i] * x^(i-1)
で
Σ[i=1,∞]
になるのは、0次（定数）の部分がどんな数字だろうが微分すると０になって消えて無くなってしまうからですよね？そして今まで1次だった係数が0次の係数に成り下がる・・・こんなイメージで良いでしょうか？そういう理解の下、これに沿って、今回の質問の計算をしてみますと、
y(x) = x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i
dy/dx = { x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i }'
= { Σ[i=0,∞] a[i] * x^(c+i) }'
= Σ[i=1,∞] (c+i) * a[i] * x^(c+i-1)
(d^2 y)/(dx^2) = { Σ[i=1,∞] (c+i) * a[i] * x^(c+i-1) }'
= Σ[i=2,∞] (c+i)(c+i-1) * a[i] * x^(c+i-2)
= x^c * Σ[i=2,∞] (c+i)(c+i-1) * a[i] * x^(i-2)
・・・というように Σ[i=2,∞] になりませんか？
それとも私の計算が間違っていますか？そうだとしたら正しい説明を教えてください。お願いします。
お礼
ご回答ありがとうございます。 がんばって小文字のxを探したのに、大文字のXでしたか...