高校数学（１年） 式と証明の問題

質問

いつも大変お世話になっております。

　以下の問題なのですが、どうアプローチすればよいのか、なかなかわかりません。
　満水をVとして、関係式を立てたり、グラフに表したり、相加平均・相乗平均？とも
考えましたが、ダメのようです。
　お分かりの方がいらっしゃいましたら、どこに着目して進めればよいのか、も含めて
教えていただけると助かります。

　問題
「プールに注水するために、一定の割合で水を注ぐことができる２本の水道管A、Bがある。
　初めにAだけを使用してプールの１/５を満たし、次にBだけを使用したところ合計９時間で
満水となった。
　Aだけ、Bだけを使用した場合は、それぞれx時間、y時間で満水となり、初めからA,Bの
両方を合わせて使用するとT時間で満水になるとする。このとき、T≦５であることを証明せよ。」

　よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

あ、いけね。タイトルに高校一年てある。
微分はマズイな…

連立方程式
x + 4y = 45,
t = (1/x + 1/y),
t = 1/T.
が解 x, y を持つような t の範囲を考える。

txy = y + x から x を消去して、
t(45 - 4y)y = y + (45 - 4y).
これは y の二次方程式だから、
解(実数解) y が存在するためには、最低限
判別式≧0 であることが必要である。
この不等式を変形して、t≧1/5 が出る。

t = 1/5 のときに x>0, y>0 の解が存在する
ことは、確認して付記しなくてはならない。

＃ A No.1 の訂正：
＃ 最下行は、
＃ 要するに f(y) ≧ f(45/6) = 1/5 である。
＃ の誤字でした。

お礼

alice_44 さん

　ご回答いただきありがとうございました。
　これなら納得です。

回答No.4

naniwacchi

#3です。
Tの式は、変に整理しない方がわかりやすいです。
蛇足でした...

お礼

naniwacchi さん

　了解しました。
　ありがとうございました。

回答No.3

naniwacchi

相加平均・相乗平均、合ってますよ。（＾＾）

まずは条件を整理しましょう。
問題文と前後しますが、先に「Aだけ、Bだけを使用した場合は、それぞれx時間、y時間で満水」を式で表します。
単位時間あたりの注水量(流量)をそれぞれ a, b、プールの容量を Ｖとすると
　Ｖ＝ a* x＝ b* y ・・・(1式)

と表されます。
さらに、「初めからA,Bの両方を合わせて使用するとT時間で満水になるとする。」も式で表すと、
以下のようになります。
　Ｖ＝ (a+ b)* T ・・・(2式)

そして、残していた条件「初めにAだけを使用してプールの１/５を満たし、次にBだけを使用したところ合計９時間で満水」を式で表すのですが、
落ち着いて考えてみると、
「初めにAだけを使用してプールの１/５を満たし」ということは、『aだけで x/5時間注水した』ということであり、
「残り 4/5を bだけで注水したこと」と考えれば、『bだけで 4y/5時間注水した』ことになります。
それが合わせて 9時間ということなので、
　x/5+ 4y/5＝ 9 ・・・(3式)

ここからは計算です。

(1式)を用いて、(3式)を a, bの式に書き換えます。
　Ｖ/a+ 4Ｖ/b＝ 45 ・・・(3式)'

(2式)と両辺割り算をします。すると、Ｖが消えます。
　( 1/a+4/b )/( a+b )＝ 45/T
　T＝ 45( a+b )/( 1/a+4/b )
　 ＝ 45ab/{ (a+b)(4a+b) }

さて、どうでしょう？
分子に「ab」があることを踏まえて考えると、
分母も「ab」だけで大きさ関係を表せそうにないですか？＾＾

お礼

naniwacchi さん

　ご回答頂きありがとうございました。
　もう少し考えてみます。

回答No.1

alice_44

満水をV [L]、水道管A, Bの注水速度を a[L/時], b[L/時] と置き、
問題を、素直に式へ翻訳する。
(1/5)V/a + (4/5)V/b = 9,
V/a = x,
V/b = y,
V/(a+b) = T.

式から a, b を消去すると、
x + 4y = 45,
1/T = (1/x + 1/y).
この条件下に、1/T ≧ 1/5 であることを示せばいい。

x > 0, y > 0 という条件が隠れていることに注意すると、
45 - 4y > 0, y > 0 の下に 1/(45 - 4y) + 1/y の最小値を求める
問題だと判る。

微分が必要かなあ…
f(y) = 1/(45 - 4y) + 1/y と置いて、
0 < y < 45/4 の範囲での f(y) の最小値を求める。

(d/dy)f(y) = 4/(45-4y)^2 - 1/y^2
= {2/(45-4y) + 1/y}{2/(45-4y) - 1/y}.

左の { } 内は正＋正だから、
(d/dy)f(y) の正負は右の { } 内で決まり、
2/(45-4y) < 1/y すなわち 0 < y < 45/6 のとき (d/dy)f(y) < 0,
2/(45-4y) > 1/y すなわち 45/6 < y < 45/4 のとき (d/dy)f(y) > 0.

増減表を書いてもいいし、書くまでもないようだが、
要するに f(y) ≦ f(45/6) = 1/5 である。

お礼

alice_44 さん

　ご回答頂きありがとうございました。
　微分のところはこれからですが参考になりました。