「以前見かけた質問が見つかりません」について。

質問

すみません、大変ご迷惑をおかけしました。
私が素朴な疑問で質問したんですが、ＵＲＬを貼り付けるのは良くないということで削除されてしまいました。
利用規約をよく読まずに質問してご迷惑をおかけしてすみませんでした。

図がないと説明が難しいのですが、もう一度質問させてください。

１辺が２センチの正方形abcd(仮に左上から時計回りにabcdとします)に円が内接しており、acを弧で結んでいる図があります。

弧acによって切り取られた円の小さい方の面積(つまり正方形のabc側にある面積)を求める問題です。

この面積がどうしても求まりません。

これを積分など高度なテクニックを使わずに解けますでしょうか？

よろしくお願い致します。

回答No.7

puni2 · ベストアンサー

こちらの問題ですね？（正方形の一辺の長さ＝１ですが）
「質問：（算数）面積の問題」
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=707046

この質問に対しては，2通りの答えを示しておきました。（といっても，詳しくは書いていませんが…）
今回の回答No.6～7で，第3の解法出現ですね。
しかも，今回は積分を全く使っていません。すばらしい。
一応，「高度なテクニックを使わずに」解いたといえるのかな。

数値計算しますと，前回の回答で示したように，一辺＝１のとき，求める面積＝0.14638125953034…ですから，
一辺＝２なら，面積は4倍になって0.5855250381…です。
No.6の計算は，丸め誤差を考慮すれば合っていそうですね。

ただ，どの答えでも，計算式の中に三角関数・逆三角関数が出てきています。
今回登場した第3の解法も，積分は使っていませんが，角度はきれいな数字にはならず，逆三角関数を使わざるをえないようですね。
積分は高校の数学II, 数学IIIで登場しますが，これが「高度なテクニック」になるのであれば，高校数学では（理数科の高校以外では）学ばない逆三角関数は，もっと高度という言い方もできるかもしれません。

それならば，式に出てくる記号を，ルートやπ程度にとどめ，三角関数・逆三角関数を使わない形で表せるか，というと，はっきりとは分かりませんが，無理なんじゃないかという気がしています。

ところで，質問者さんへ補足要求です。
私もその問題が載っているページを見てみたいのですが，URLを教えていただけないでしょうか？
画像への直接リンクでなく，ウェブページのアドレス（http://…………/なんとか.html　のような）を示していただいて，「このページのどこそこをクリックすると何が出てきて」のように文章で示していただければ，削除にはならないはずですので。

それともう一つ，質問者さんへお願いです。
第3の解法が出ましたので，せっかくですから第1・第2の解法もきちんと書いておきたいと思います。
前回の質問はすでに締め切られてしまっていますので，この質問をもう数日締め切らないでおいていただければ，解法を書いておこうと思います。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=707046

お礼

puni2さん、非常にご親切に解法まで二つ書いていただき、大変感謝いたします。

＞式に出てくる記号を，ルートやπ程度にとどめ，三角関数・逆三角関数を使わない形で表せるか，というと，はっきりとは分かりませんが，無理なんじゃないかという気がしています。

やはりそうでしたか。。。
高校は文系である自分としては、どうがんばっても答えなんか出ないはずですね(^^;)。
数学はそれほど嫌いでもなく、基礎解析程度の三角関数の基本は分かるんですが、逆三角関数となると訳が分かりません。

＞私もその問題が載っているページを見てみたいのですが，URLを教えていただけないでしょうか？

すみません、この問題は自分がノートで写真をとって、勝手にアップロードしてそのＵＲＬを書きました。ですので削除されてしまったんです。

補足

皆様、いろいろとありとうございます！
所用の為来週改めて皆様にお返事書きますので、それまでお待ちください。。

回答No.9

puni2

こんにちは。
引き続き，解法2です。
（正直なところ，No.5, No.6で示された解法のほうがずっとスマートなのですが，
乗りかけた船とも申しますし，こんなやりかたもあるよということで，
眺めていただければと思います）

【なお，今回も正方形の一辺＝10となっています。ご注意ください】

正方形をABCD，その重心をO，ADの中点をP，ABの中点をS，CDの中点をMとする。
Oを中心として，正方形に内接する円を描く。
Cを中心として，BおよびDを通り，半径がBCに等しい四分円を，正方形の内側に
描く。
円と四分円の交点のうち，Bに近いほうをR，Dに近いほうをQとする。
QからOMに下ろした垂線の足をH，
QからDMに下ろした垂線の足をI，
CQとOMの交点をNとする。
∠QOM＝α，∠QCD＝βと表す。
【注。解法1のα・βとは違います。】

求める面積は，
図形PQRS＝図形ABD－（図形ASP＋２×図形PQD）
ここで，図形ABD＝正方形ABCD－扇形BCD＝100－25π
図形ASP＝1/4 ×図形ABD＝(100－25π)/4
∴図形PQRS＝3/4 ×（100－25π）－2図形PQD　……式(A)

（注。「1/4 ×図形ABD」のように書いた時，分母は4だけです。
厳密には(1/4)と括弧でくくるべきでしょうが，表記を簡略にするため，
除法の斜線の直後に括弧がない時は，分母は数字のみ，ということにします。
また，「図形ABD」なども今後は単に「ABD」と表記して，面積を意味する
ことにします。）

次に，PQD＝PMD－QMD
　　　　＝（100－25π）/4 －QMD
これを式(A)に代入すると，
PQRS＝（100－25π）/4＋2QMD　……式(1)

次に，QMD＝OCDQ－OCMQ
＝（△OQC＋扇形QCD）－（△OCM＋扇形OMQ）　……式(B)
ここで，NM＝CM tanβ＝5tanβ
　　　　ON＝OM－NM＝5(1－tanβ)
　　　　QH＝OQ sinα＝5sinα
より，
　△OQC＝1/2 ・ON・(QH＋MC)＝1/2・5（1－tanβ）（5sinα＋5）
　　　＝25/2 （1－tanβ）（1＋sinα）
　扇形QCD＝1/2・10^2・β＝50β　　←βは（αも）ラジアン単位とする
　△OCM＝25/2
　扇形OMQ＝1/2・5^2・α＝25α/2

これらを式(B)に代入して
QMD＝25/2 （1－tanβ）（1＋sinα）＋50β－25/2 （1＋α）　……式(2)

次に，α，βを求めるため，両者の関係式を2つ作る。

まずOMについて
OH＋QI＝5
OQ cosα＋CQ sinβ＝5
5 cosα＋10 sinβ＝5　∴cosα＋2sinβ＝1　……式(3)

次にCMについて
CI－QH＝5
CQ cosβ－OQ sinα＝5
10 cosβ－5 sinα＝5　∴2cosβ－sinα＝1　……式(4)

以上(3)，(4)をα，βについて解く。

(3)より 2sinβ＝1－cosα
(4)より 2cosβ＝1＋sinα
それぞれの両辺を2乗して，両式を辺々加えると，
sinα－cosα＝1/2
単振動の合成の式を用いてsinでまとめると
sin（α－π/4）＝1/(2√2)
∴α＝arcsin {1/(2√2)} ＋ 1/4　　……式(5)

同様に，(3)，(4)をcosα，sinαについて解いて，
整理すると，
sinβ＋cosβ＝5/4
∴β＝arcsin {5/(4√2)} － π/4　　……式(6)

以上の(5)，(6)を(2)および(1)に代入すれば，求める答は

(100－25π）/4 ＋ 25{1－tan(arcsin {5/(4√2)} － π/4)}{1＋sin(arcsin {5/(4√2)} － π/4)}＋100（arcsin {5/(4√2)} －π/4)－25(1＋arcsin {1/(2√2)} ＋ 1/4)

となる。
参考までに，これを数値計算すると，
α＝1.146765287rad＝65°42′17.3197″
β＝0.2987032083rad＝17°06′51.9593″
tanβ＝0.3079159383
sinα＝0.9114378276
QMD＝4.636540021
PQRS＝14.63812596
となります。（いずれも10桁しか書いていませんが，本当はもっと続きます）

ご質問なさった問題では，一辺＝2ですから，このPQRSの値を25で割れば
求める面積になります。
以上，たいへん長々とすみませんでした。

お礼

非常にご親切にありがとうございます。。。。
御礼が遅くなった事をお詫びいたします。
いろんな解法があるんだなぁ、と改めて実感した次第です。

教えていただいた式の通り、自分でもやってみました。
かなり忘れているところが多く、高校時代を思い出し、かなり懐かしかったです(^^;)。
単振動の合成、積分の計算などはすっかり忘れてしまいました。。

ひさびさに頭のトレーニングになりました。
本当にどうもありがとうございました！！

回答No.8

puni2

こんにちは。お約束通り，解法１，解法２を示します。

【なお，私が最初にこの問題を出されたときは，正方形の一辺＝10となっていたので，以下の解法でもそれを前提にして書いてあります。下手に直すと，見落としが出たりしそうなので，そのままにしてあります。必要に応じて換算してください。】

解法１．
正方形をABCDとし，各頂点の座標が次のようになるようにXY平面上におく。
A(-5√2, 0) B(0, 5√2) C(5√2, 0) D(0, -5√2)
また，正方形に内接する円の中心（＝原点）をOとし，この内接円とX軸との交点のうちX>0のほうを点Rとする。
さらに，点Aを中心とし，半径がABに等しい円を描き，この円弧とX軸との交点のうちX>0のほうを点Qとする。
（AB=10より，Qは(-5√2 +10, 0)となる。）

大きい円の方程式は　(x+5√2)^2＋y^2＝100
小さい円の方程式は　x^2＋y^2＝25
これらよりyを消去すると，点Ｐの座標は ((5√2)/4, (5√14)/4)
Pからx軸に下ろした垂線の足をHとすると，Hの座標は((5√2)/4, 0)

さて，求める部分はx軸について対象なので，y>0の部分の面積Ｓを求めて2倍すればよい。
図形PHRの面積＝S1, 図形PHQの面積＝S2とすると，
Ｓ＝S1-S2
＝∫[(5√2)/4 ～ 5] √(25-x^2) dx －　∫[(5√2)/4 ～ -5√2 + 10] √{100-(x+5√2)^2} dx
（なお，積分区間は[下限～上限]のように表した）

まずS1から求める。
x=5sinθとおくと，dx=5cosθdθ
sinθ＝1/2√2となるθの値（つまりsin^-1(1/2√2)をα（0<α<π/2)とおくと，
S1＝∫[(5√2)/4 ～ 5] √(25-x^2) dx
＝∫[α～π/2] 5cosθ・5cosθdθ
＝25∫[α～π/2] cos^2 θ dθ
＝　………
＝(25/2)(π/2 － (sin2α)/2 － α)
ここで，sinα＝1/(2√2)よりcosα＝√(1-1/8)＝(√7)/(2√2)
∴sin2α＝2sinαcosα＝(√7)/4
これを代入すると，結局
S1＝(25/2)(π/2 － (√7)/8 － α)

同様にしてS2を求める。
計算が簡単になるように，図形をx軸方向に＋5√2だけ平行移動し，点Aを原点とする。
細かい計算は省きますが，
S2＝∫[(25√2)/100～10] √(100-x^2) dx
ここで，x=10sinθとおくと，dx=10cosθdθ
β＝sin^-1(5 / 2√2)とおいて整理すると，
S2＝50(π/2 － (5√7)/32 － β)

以上より，求める面積は
2S＝2（S1-S2)＝－(75/2)π＋25(√7)/2－25sin^-1(1/2√2＋100sin^-1(5 / 2√2)
≒14.63812595……

長くなったので解法2は別記事にします。

ところで，これを逆三角関数を使わずに表わせるかという問題ですが，
いろいろ検索していたところ，2チャンネルの記事（のキャッシュ）に次のような記述を見つけました。（同一の問題です）
http://216.239.53.104/search?q=cache:qekpqHB4BSsJ:science.2ch.net/test/
read.cgi/math/1039581014/501-600+%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2+%E5%86%85
%E6%8E%A5+%E5%9B%9B%E5%88%86%E5%86%86+%E9%9D%A2%E7%A9%8D&hl=en&ie=UTF-8
（1行につなげていれてください）

581：「arctanで表した後で、外すことができるかどうかを
どうやって判断したら良いのか分からないのです。
外せない証明ってのはできるのでしょうか？」
582：「arctan(有理数)とかarctan(有理数)/πとかが「有理数」のとこがよほど都合のよい値
でないかぎりは超越数になる、みたいな感じだったら証明できると思うけど。」
583：「tan(π/4)=1,tan(π/3)=√3から加法定理を使って代数方程式を立てて
arctanを外せる値を列挙することは出来るけど
実践的にはπ/12（15度）の整数倍じゃなかったら外せないと見ていいと思う。」

あと18度（π／10）も多少複雑になるものの，表わせたような気がしますが，それ以外の値では難しいのではないでしょうか。
たぶん，初等幾何の範囲で解くのも難しいと思います。
直感ですが…。

回答No.6

kurio-kowa

♯５さんの後追いですよ。
ご質問の求める面積がそうだとして、

三角形defで辺fdを底辺とし向きを変えます。
点eより辺fdに垂線を引き辺fdとの交点をmとします。
線分fmをX,　線分mdをYとします。

設問より　X＋Y＝2　　・・（１）
垂線が共通であるので、三平方の定理より
共通な垂線emは1^2－X^2＝（√2）＾2－Y＾2
Ｙ＾2を左辺へ、1^2を右辺へ移行
Y^2－X＾2＝（√2）＾2－1^2
「和と差の積」は「２乗の差」の公式より、
（Ｙ＋Ｘ）（Ｙ－Ｘ）＝（√2）＾2－1^2＝1　・・（２）
（１）と（２）より（Ｙ－Ｘ）＝０．５ ・・（３）
（１）と（３）より　　Ｙ＝１．２５　　X＝０．７５

直角三角形efmにおいて斜辺ぶんの隣辺は
cosθ＝0.75/1　　
よってアークコサイン、cosθ＾－１（0.75/1）≒41度
同様に直角三角形edmにおいて挟角は≒28度
よって、角fedと角gedは共に≒111度　
360－111×2＝角fegは138度

（S1)扇形fdgの面積はπR^2×（56/360)≒１．９５
　　　ここで、Ｒ＝2
（S2)扇形fegの面積はπr^2×（138/360)≒１．２０
　　　　ここで、r＝1

（S3)三角形efdの面積は
　1/2×ef×ed×(efとedの挟む角の正弦）より　　　
　　1/2×1×（√2）×sin111≒０．６６
　（三角形egdも合同ゆえ同じ）

求める面積は（S3)×2＋（S2)－（S1)≒０．５７

「三角比の表」か「三角関数電卓」使用可なら
　算出できる気がします。自身なしですので、
どなたか、検算お願いします。m(__)m
すごく勘違いしてたらすみません。

お礼

ふぅ、、、すごいです。。
先ほどのお礼で解けたといいましても、解くための解法が分かっただけで、具体的な角度の求め方などは実際にやってませんので、こんな方法があったのかと感心するばかりです。

お礼が遅くなり大変すみませんでした。
とても参考になりました、どうもありがとうございました！

回答No.5

few24

四分円弧acは中心がbのものとdのものと二つ考えられますが、後者として以下記します。
四角形abcdに内接する円をE、その円の中心点（＝線acと線bdの交点）をeとします。
点dを中心とする円弧acと円Eとの交点は２点あり、aに近い側をf、cに近い側をgとします。
線deは√２cm、線ef,egは１cm、線df,dgは２cmですので
角度edf,edgは算出でき、これが分かれば
角度fegから扇形efgの面積
角度cdgから扇形dfgの面積
が算出できます。
円Eを弧fgで二つに分け、小さいほうの面積は
「扇形efgの面積」＋「三角形defの面積」＋「三角形degの面積」－「扇形dfgの面積」

お礼

御礼が遅くなって大変すみません！

大変ありがとうございます。。。
あ～、、、と、解けました！！
こちらに質問して本当に良かったです。。
やはりすごい方はいらっしゃるんですね。。
問題に対する考え方が自分のような人間とは質が違うと感じました。
とてもスッキリしました。

ありがとうございました！！

回答No.4

hinebot

#3です。

>切り取られた円の小さい方の面積(つまり正方形のabc側にある面積)
って書いてますね。
ということは弧acは
>bを中心とし、ab(bc)を半径とする1/4円弧
ですよね。

補足要求しておいて申し訳ないですが、これを幾何的に（積分を使わずに）解くのは難しいと思います。

回答No.3

hinebot

a----b
|　　　|
|　　　|
d----c

この位置関係ですよね？
弧acの方向が2通り考えられます。
bを中心とし、ab(bc)を半径とする1/4円弧なのか？
dを中心とし、ad(cd)を半径とする1/4円弧なのか？
（どっちでもない、ということはないと思いますが…）

お礼

ご回答ありがとうございます。
遅くなり大変すみません。
dを中心とした1/4円弧を想定したんですが、求める面積はどちらにしましても小さく切り取られる方です。

回答No.2

hirona

実は、私も考えているところなんですが……

求めたい図形は、＃１さんが言われているのではなく、要するに、正方形abcd、それに内接している円Ｅ（直径は、正方形の一辺と同じ長さ）があり、さらに対角線acに近い状態の弧があるってことですよね？
別の言い方すると、辺abを半径とする円Ｆの４分の１が（Ｆ２）、正方形および円Ｅと重なっていて、円Ｅが、４分の１の円Ｆ２の円弧で分断された時の、面積を求めるんですよね？

補足

はい、その通りです。

「円Ｅが、４分の１の円Ｆ２の円弧で分断された時の、面積」ですが、この弧によって二つに分断された円Ｅの小さい方の面積です。

分かりにくい説明ですみません。。

よろしくお願いします。

回答No.1

mtld

”acを弧で結んでいる”は
円が内接ですからabの中点からcdの中点までが作る弧の事でしょうか？　
それと辺abの中点からｂ点を通り辺cdの中点とで作る面積と解釈しましたが
この解釈通りなら正方形の面積から円の面積を引いて1/4で求められますが　
でももっと難しい問題を求めてるように思うのですが？
違ってたらごめんなさい。

補足

説明が悪くてすみません。。

内接円とは別に、正方形の頂点(頂点と言う言い方がふさわしいのか。。？)acを結ぶ弧があります。
この弧が内接円を切り取りますよね。

で、2つに切り取られた円の小さい方の面積を求めると言うものです。

よろしくお願いします。