重積分で、斜めになった長方形の積分領域について

質問

こんにちは、数学の重積分について質問させていただきます。
以下に示すような問題に出会ったのですが、
積分を行う方法がイマイチ見当がつきません。

領域 D = {(x,y) | 0≦x+y≦2, 0≦x-y≦2} として、
次の重積分を計算せよ。

∬D (x-y)exp(x+y) dxdy

この積分をうまく求める方法について、アドバイスをいただけないでしょうか？
皆様、宜しくお願い致します。

回答No.2

info22

#1です。
A#1のヤコビアンの訂正
>|J|=-2
正：|J|=2
これに伴って式を以下のように修正して下さい。
dxdy=2dudv
I=∬[D'] v*exp(u)(2)dudv, D':{(u,v)|0≦u≦2,0≦v≦2}
=2{∫[0,2] vdv}*{∫[0,2] exp(u)du}

回答No.1

info22

u=x+y,v=x-yと置換して下さい。
ヤコビアン|J|=-2なので
dxdy=-2dudv
I=∬[D'] v*exp(u)(-2)dudv, D':{(u,v)|0≦u≦2,0≦v≦2}
=-2{∫[0,2] vdv}*{∫[0,2] exp(u)du}
これで変数分離できたので、後は積分できますね。

続きはやってみてください。

分からなかったら、やった式の変形を詳細に書いて、行き詰って分からない所を質問して下さい。