ｘｙ平面上において、ｘ軸上の２点ｘ＝ａおよびｘ＝－ａのそれぞれに点電荷

質問

ｘｙ平面上において、ｘ軸上の２点ｘ＝ａおよびｘ＝－ａのそれぞれに点電荷ｑが置かれている。
このときｙ軸上で電界が最大値をとる位置を求めよ。
解：ｙ＝±ａ／√２

さっぱり分からないので教えてください。お願いします。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。
数日前もお会いしましたか。

ｘ＝ａ　にある電荷の名称をＡ、
ｘ＝－ａ　にある電荷の名称をＢ
と置きます。
そして、
仮に置く電荷をＺと名づけ、その座標を（ｘ，ｙ）、電荷の大きさをＱとします。

ＡとＺとの間に働く力Ｆa→の絶対値は、クーロンの法則により
｜Ｆa→｜　＝　ｋｑＱ　÷　（ＡとＺの距離）^2
ここでＡの座標は（ａ，０）なので、三平方の定理により
（ＡとＺの距離）^2　＝　（ｘ－ａ）^2　＋　（ｙ－０）^2
　＝　（ｘ－ａ）^2　＋　ｙ^2
よって、
｜Ｆa→｜　＝　ｋｑＱ／｛（ｘ－ａ）^2　＋　ｙ^2｝
しかし、これではＦaの大きさはわかっても、方向がわかりません。
ですから、大きさが１のベクトル（単位ベクトル）をかけます。
とりあえず、Ｆa→ に平行なベクトルは、成分表示で
（ｘ－ａ，ｙ）
と表すことができます。
単位ベクトルにするには、それ自身の絶対値で割ればよいです。
Ｆa方向の単位ベクトル　＝　（ｘ－ａ，ｙ）／√｛（ｘ－ａ）^2 ＋ ｙ^2）｝

以上のことから
Ｆa→　＝　ｋｑＱ／｛（ｘ－ａ）^2　＋　ｙ^2｝・（ｘ－ａ，ｙ）／√｛（ｘ－ａ）^2 ＋ ｙ^2）｝
　＝　（ｘ－ａ，ｙ）・ｋｑＱ／｛（ｘ－ａ）^2　＋　ｙ^2｝^(3/2)
これのＹ成分は、
Ｆa→のＹ成分　＝　ｙ・ｋｑＱ／｛（ｘ－ａ）^2　＋　ｙ^2｝^(3/2)

Ｂについても同様に、
Ｆb→のＹ成分　＝　ｙ・ｋｑＱ／｛（ｘ＋ａ）^2　＋　ｙ^2｝^(3/2)

Ｆ→のＹ成分の合計は、
Ｆ→のＹ成分　＝　Ｆa→のＹ成分　－　Ｆb→のＹ成分
　＝　ｙ・ｋｑＱ／｛（ｘ－ａ）^2　＋　ｙ^2｝^(3/2)　＋　ｙ・ｋｑＱ／｛（ｘ＋ａ）^2　＋　ｙ^2｝^(3/2)
電界はＦをＱで割ったものなので、
Ｅ→　＝　ｙ・ｋｑ／｛（ｘ－ａ）^2　＋　ｙ^2｝^(3/2)　＋　ｙ・ｋｑ／｛（ｘ＋ａ）^2　＋　ｙ^2｝^(3/2)

Ｙ軸上なので、ｘ＝０
Ｅ→のＹ成分　＝　ｙ・ｋｑ／｛（０－ａ）^2　＋　ｙ^2｝^(3/2)　＋　ｙ・ｋｑ／｛（ー＋ａ）^2　＋　ｙ^2｝^(3/2)
　＝　ｙ・ｋｑ／｛ａ^2　＋　ｙ^2｝^(3/2)　＋　ｙ・ｋｑ／｛ａ^2　＋　ｙ^2｝^(3/2)
　＝　２ｋｑｙ／｛ａ^2　＋　ｙ^2｝^(3/2)

このままだと後が面倒なので、２乗します。
（Ｅ→のＹ成分）^2／（２ｋｑ）^2　＝　ｙ^2／｛ａ^2　＋　ｙ^2｝^3
これが極値であるには、これをｙで微分したものがゼロ。

ｄ／ｄｙ・｛ｙ^2・｛ａ^2　＋　ｙ^2｝^(-3)｝
　＝　２ｙ・｛ａ^2＋ｙ^2｝^(-3)　＋　ｙ^2・２ｙ・（－３）・（ａ^2＋ｙ^2）^(-4)
　＝　［２ｙ・（ａ^2＋ｙ^2）　－　６ｙ^3］（ａ^2＋ｙ^2）^(-4)
　＝　２ｙ［（ａ^2＋ｙ^2）　－　３ｙ^2］（ａ^2＋ｙ^2）^(-4)
　＝　２ｙ（ａ^2　－　２ｙ^2）（ａ^2＋ｙ^2）^(-4)
　＝　２ｙ（ａ^2　－　２ｙ^2）／（ａ^2＋ｙ^2）^4

よって、Ｅ→のＹ成分が極値を取るとき
ｙ＝０　　　または、　　ａ^2　－　２ｙ^2　＝　０
このうち、ｙ＝０　は、｜Ｅ→｜の大きさが０になる場所（極小）なので、ＮＧ。
残るのは、ａ^2　－　２ｙ^2　＝　０　です。
ｙ^2　＝　ａ^2／２
ｙ　＝　±ａ／√２

お礼

ありがとうございます。助かりました。