ベクトル

質問

１辺の長さが1の正四面体OABCで、辺OAをt：(1-t)に内分する点をD、辺BCの中点をE、辺DEを
1：3に内分する点をFとするまた、a→＝OA→、b→=OB→、c→=OC→とおく。

内積OF→・DE→をｔの式でで表せ。

という問題なんですが、全然わからないので教えてください。
お願いします。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

OD→+DE→=OB→+(1/2)BC→
OD→=ta→
BC→=OC→-OB→=c→-b→
よってDE→=b→+(1/2)(c→-b→)-ta→=-ta→+(1/2)(b→+c→)
OD→+DF→=OF→
DF→=(1/4)DE→
よってOF→=ta→+(1/4){-ta→+(1/2)(b→+c→)}
=(3/4)ta→+(1/8)(b→+c→)
OF→・DE→
={(3/4)ta→+(1/8)b→+(1/8)c→}・{-ta→+(1/2)b→+(1/2)c→}
=-(3/4)t^2a→・a→+(3/8)tb→・a→+(3/8)tc→・a→
-(1/8)ta→・b→+(1/16)b→・b→+(1/16)c→・b→
-(1/8)ta→・c→+(1/16)b→・c→+(1/16)c→・c→
ここでa→・a→=b→・b→=c→・c→=1
b→・a→=c→・a→=a→・b→=c→・b→=a→・c→=b→・c→
=1*1cosπ/3=1/2
よってOF→・DE→=-(3/4)t^2+(3/16)t+(3/16)t
-(1/16)t+(1/16)+(1/32)-(1/16)t+(1/32)+(1/16)
=-(3/4)t^2+(1/4)t+(3/16)・・・答え
計算ミスご容赦！

お礼

教えていただきありがとうございました！！
答えもあっていました！！
本当に助かりました。

回答No.3

alice_44

各点の位置ベクトルを、点の名前で書くことにします。
|A| = |B| = |C| = 1,
A・B = B・C = C・A = cos(π/3),
D = tA,
E = (B + C)/2,
F = (3D + E)/4
という設定ですね。

F・(E-D) = { (3D + E)/4 }・(E - D)
= (1/4){ 3D + (B + C)/2 }・{ (B + C)/2 - D }
= (1/16){ 6D + B + C }・{ B + C - 2D }
= (1/16){ 6tA + B + C }・{ B + C - 2tA }
= (1/16){ 6tA・B +6tA・C -12(t^2)A・A +B・B +B・C -2tB・A +C・B +C・C -2tC・A }
= (1/16){ 6t(1/2) +6t(1/2) -12(t^2) +1 +(1/2) -2t(1/2) +(1/2) +1 -2t(1/2) }
= (1/16){ -12(t^2) +4t +3 }

No.2 の答えが、合っているようです。

お礼

問題を解いていただきありがとうございました！！
答えも途中式も完璧で助かりました。
本当にありがとうございました！！

回答No.1

k3eric

OD→、OE→、OF→を　OA→、OB→、OC→を用いて表す。

OD→
　＝　tOA→

OE→
　＝　(１／２)OB→　＋　(１／２)OC→

OF→
　＝　｛１／（３＋１)｝｛３・OD→　＋　１・OE→｝
　＝　（１／４）（３・OD→　＋　OE→）
　＝　（１／４）｛３ｔ・OA→　＋　(１／２)・OB→　＋　(１／２)・OC→｝
　＝　（１／８）（６ｔ・OA→　＋　OB→　＋　OC→）

DE→
　＝　OE→　‐　OD→
　＝　(１／２)OB→　＋　(１／２)OC→　‐　tOA→
　＝　（１／２）（‐２ｔ・OA→　＋　OB→　＋　OC→）

OF→・DE→
　＝　（１／１６）（６ｔ・OA→　＋　OB→　＋　OC→）（‐２ｔ・OA→　＋　OB→　＋　OC→）

OA、OB、OC＝１
OA→、OB→、OC→はどれも大きさ１で、２つのベクトルのなす角は６０°なので
（内積）＝１・１・cos(60)＝１／２。

OF→・DE→
　＝　(1/16)*{（-12tt + 3t + 3t) + (-t + 1/2 + 1/2) + (-t + 1/2 + 1/2)}
　＝　(1/16)*(-12tt + 4t + 2)
　＝　(1/ 8)*{-8tt + 2t + 1)

∴OF→・DE→　＝　(1/ 8)*{-8tt + 2t + 1)

＃こんな感じになると思います。