分かる人には極簡単な問題です。

質問

分かる人には至極簡単な問題だと思います。
「滑らかな球面の頂上に物体をのせ、初速度V0で物体を滑らせるとき、
物体はどこで球面を離れるか？」
という問題です。

球面から質点が受ける垂直抗力をRとおき、ここで法線方向の運動方程式を
球面の中心から外へ向く方向を正とおいて、

　ｍ・(V・V/ｒ)＝－ｍｇ・cosθ＋R

と書きました。（※Vの二乗が書けず、V・Vと書きました。
以下・は×<かける>の意）

しかし、力学的保存則より、

　V・V＝(V0・V0)＋２・ｇ・ｒ・(１－cosθ）

を入れると、答えである、

　H＝（２／３)ｒ＋V・V／３ｇ

になりません。
なぜか教えてください。

回答No.4

guiter · ベストアンサー

遠心力というのは自分が円運動している物体上にいるという
立場で考えたときの慣性力（見かけの力）のことです。

したがって、加速度がわからないという立場なので
実在の二つの力（今は重力と垂直効力）に遠心力（見かけの力）を加えた
３つの力のつりあいの式（打ち消しあって０）を立てることになります。
球面の中心から外へ向く方向を正とおくと
　　ｍ・(V^2/ｒ)＋Ｒ－ｍｇ・cosθ＝０
ということになります。
考え方の違いなので同じ式が出てきます。
（そうでないとおかしいですよね。）

お礼

とても丁寧で分かりやすい回答、本当にありがとうございました。
おかげさまでようやく理解することができました。
やはり物理学は、一つ一つの基本的な概念をしっかり理解していくことが
大切だとつくづく思い知らされました。

回答No.3

guiter

運動方程式は Dirac さんの仰るように、中心から外向きを正とするなら
　－ｍ・(V^2/ｒ)＝－ｍｇ・cosθ＋R
となります。

エネルギー保存則も darah さんが書いておられるように
　V^2＝(V0)^2＋２ｇｒ(１－cosθ）
でいいですよ。

この２式と後は「離れる」という条件で cosθ の値が出てきます。
それを　Ｈ＝ｒcosθ　に代入するとちゃんと出ましたよ。

補足

補足させてください。
私は向心力とはおかず、遠心力と考えて式を立てました。
遠心力と考えるとなぜおかしくなるのですか？

回答No.2

Dirac

上の回答間違っちゃった。

よく考え直してカキコします。

お礼

すいません。よろしくお願いいたします。

回答No.1

Dirac

運動方程式の立て方が間違っているような気がします。
球面外向きの法線方向を正とするならば運動方程式は

ーｍ(VV/r)=ーmgcosθ＋R　です。(向心加速度は法線方向と逆向きだから）

球面(半径ｒ）の中心をとおる水平面から見た
物体が離れる位置を　H　とおくと

力学的エネルギー保存則は

（V0V0)m/2+mgr＝(VV)m/2+mgH

となります。cosθ=H/rなので

上の２式よりVVを消去すればH＝V0V0/3g+2r/3

がでてきます。

球の中心をとおる水平面から見た高さ　V0V0/3g+2r/3 の位置で
物体は球面から離れると言うことになります。

床からの高さなら上記の位置にｒを加えた値になります。