もうひとつ。

質問

答えが合わなくて困っているのですが、

「質量ｍの質店が滑らかな放物線 x・x＝２ay (xは水平右を、yは鉛直下向を正)
で与えられる細い滑らかな管の中に束縛されていて、最高点からV0の速さで
運動をはじめる。任意の位置(X,Y)での束縛力を求めよ」

という問題で、任意の点の法線を求めると、y軸との切片は（a＋y）になり、
法線方向の運動方程式を立てるため、曲率半径ρをρの二乗を、

　　　　ρ・ρ＝x・x＋a・a

として、

　　　　ｍ・(V・V／ρ)＝(ｍ・ｇ・a)／ρ＋R

と立てました。（※a／ρ＝sinθ、R＝束縛力)

あとは力学的保存則を用い、Rを求めたのですが、答えが合いません。
私の考え方にミスがあると思います。

誰か混乱した私にアドバイスをお願いします。

因みに正解は、

　　｛mg(a・a)(a－V0・V0／g)｝／(a・a＋2ay)[3/2]

　※[3/2]　は、’3/2乗’の意

回答No.2

siegmund

siegmund です．

y'(x) = dy(x)/dx で，この y'(x) の x のところに x+dx を代入したのが
y'(x+dx) です．
x 座標が x の時の接線の傾きが y'(x)，
x 座標が x+dx なら接線の傾きは y'(x+dx) です．

お礼

分かりました。ありがとうございました。

回答No.1

siegmund

曲率半径ρが違っていますね．
ａのｂ乗を a^b と書くことにして
(1)　　ρ^2 = (a^2 + x^2)^3 / a^4
です．
曲率半径の公式は
(2)　　ρ = {1 + (y')^2 }^(3/2) / |y''|
です．y' = dy/dx, y'' = d^2 y /dx^2．

半径ρの円上の近接した２点Ｐ，Ｐ'で接線を引き，それらがｘ軸の正の方向となす角を
θ，θ+Δθとしますと，Δθが弧PP'に対する中心角になります．
すなわち
(3)　　ρ = (弧PP'の長さ) / Δθ
これの一般化が曲率半径です．
(4)　　(弧PP'の長さ) ⇒ √{(dx)^2 + (dy)^2} = dx √{1 + (y')^2}
(5)　　tan θ = y'(x)
(6)　　tan (θ+Δθ) = y'(x+dx)
で，(5)(6)から
(7)　　Δθ = arctan{y'(x+dx)} - arctan{y'(x)}
　　　　　　= y'' / {1 + (y')^2} dx
です．
(3)(4)(7)を整理して(2)になります．
絶対値がついているのは，下に凸と上に凸の場合を調整したものです．

補足

回答ありがとうございます。
ところで(４)までは理解しました。
(５)の　y'(x+dx)
が何を表しているのかがちょっと分かりませんでした。
お手数ですが、できればそこの補足をお願いいたします。