調和振動子

質問

U(r)=kr^2/2のポテンシャルの時、エネルギーEによらずΔθ=π/2となる理由を教えてください。

Δθ=∫_[r_min～r_max] M/(mr^2√((2/m)(E-Ueff(r))) dr
で与えられます。

M:角運動量、Ueff(r)=U(r)+M^2/(2mr^2)

「大学院生のための基礎物理学」という本の序盤に出てきたんですが、よくわかりませんでした。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

まず

☆⊿φ=±∫[M/(mr^2√{(2/m)(E-Ueff(r))}]dr

⊿φ=±∫[M/(mr^2√{(2/m)(E-kr^2/2-M^2/(2mr^2)}]dr

=±M/√(2m)∫[1/r^2√{E-kr^2/2-M^2/(2mr^2)}dr

ここで1/r^2=uとおきu_1=1/r_{max}^2,u_2=1/r_{min}^2とおくと，-2dr/r^3=du,dr=-du/(2u√u)

⊿φ=∓(1/2)M/√(2m)∫[u/√{E-k/(2u)-M^2u/(2m)}du/(u√u)

=∓(1/2)M/√m)∫du/√{2uE-k-M^2u^2/m}

ここで

2uE-k-M^2u^2/m=0(D/4=E^2+kM^2/m>0)

の2解をu_1,u_2(0<u_1<u_2)とすると，

⊿φ=∓(1/2)M/√m)∫du/(M/√m)√{(u-u_1)(u_2-u)}

=∓(1/2)∫du/√{(u-u_1)(u_2-u)}

u=u_1+(u_2-u_1)sin^2θとおくと

u-u_1=(u_2-u_1)sin^2θ

u_2-u=u_2-u_1-(u_2-u_1)sin^2θ=(u_2-u_1)cos^2θ

∴∫du/√{(u-u_1)(u_2-u)}=∫(u_2-u_1)2sinθcosθdθ/√{(u_2-u_1)^2sin^2θcos^2θ}

=∫(u_2-u_1)2sinθcosθdθ/{(u_2-u_1)sinθcosθ}=2∫dθ=∓2⊿θ

向きを調整すれば

∴⊿φ=(1/2)2⊿θ=⊿θ

よって，r_{max}=a,r_{min}=bとおくと，u_1=1/a^2,u_2=1/b^2であるから，

1/r^2=1/a^2+(1/b^2-1/a^2)sin^2φ=(1-sin^2φ)/a^2+sin^2φ/b^2

1/r^2=cos^2φ/a^2+sin^2φ/b^2

1=(rcosφ)^2/a^2+(rsinφ)^2/b^2

これをxy座標系でかくと

x^2/a^2+y^2/b^2=1

これは長軸2a,単軸2bの楕円です．したがって(0,b)(r=r_{min}から(a,0)(r=r_{max})まで軌道を運動する場合☆は

∫[r_{min},r_{max}][M/(mr^2√{(2/m)(E-Ueff(r))}]dr=⊿φ=π/2

となります．

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど。何年か不勉強になった間に幾つかの計算テクニックを忘れてました。