角運動量保存について

質問

中心力下では角運動量とエネルギーは保存されますよね？その大きさをＭ、Ｅとしたときに、
ｄｒ/ｄｔ＝√{2/ν（ＥーＵ（ｒ））－Ｍ＾2/（ν＾2ｒ＾2）}がどうやって導かれるのかを知りたいです。
ちなみにここでｒは、距離、νは換算質量です。
たぶんラザフォードの散乱と同じようなかんじだと思うのですが・・・

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

ドットを文字の上に書けないので、時間微分は文字の後ろにドットをつけて表わすことにします。ラグランジアンは、
　L = (ν/2)(r・^2 + r^2θ・^2) - U(r)
変数についての和をΣで表わしrおよびθをxと書いて
　H = Σ(∂L/∂x・)x・ - L
とおくとラグランジュ方程式より
　dH/dt= Σ(d(∂L/∂x・)/dt)x・ + Σ(∂L/∂x・)x・・ - dL/dt
　　= Σ(∂L/∂x)x・ + Σ(∂L/∂x・)x・・ - dL/dt
　　= dL/dt - dL/dt = 0
だから
　H = (ν/2)(r・^2 + r^2θ・^2) + U(r) = E = const
よって
　r・=√{2/ν(E-U) -r^2θ・^2} …(1)
また
　d(∂L/∂θ・)/dt - (∂L/∂θ) = 0
より
　νr^2θ・= M = const …(2)
(2)を(1)に代入すると求める式になると思います。

お礼

ありがとうございました。
解決できました。