ラグランジュの方程式を用いた中心力ポテンシャルの問題です。

質問

下記の問題について、途中でつまづきました。

「質点ｍの軌道が、２次元極座標（ｒ、φ）の原点を通る直径ｄの円となることが可能であるような中心力ポテンシャルＵ(ｒ)は、Ｕ(ｒ)＝－Ｋｒ＾(ーｎ)の形になる。定数Ｋと指数ｎを求めよ。ただし、運動面に垂直な角運動量の成分をＬとする。

(原点Ｏから質点ｍまでの距離をｒ、Ｏから中心を通る、すなわち直径をｄ、ｒとｄのなす角をφとしています。)」

ｒ＝ｄ・cosφとおき、ｔで微分し

ｒ(ドット)＝－ｄφ(ドット)sinφ

を得ました。この次にラグラジアンＬ＝Ｔ－Ｕより、

Ｌ＝ｍ/2(ｒ(ドット)^2＋ｒ^2φ(ドット)^2)－Ｕ(ｒ)

となりますが、この式が中心力の場合φに依存しないということらしいです。なぜr(ドット)にφが含まれているのにφに依存しないのでしょうか。φに依存しない場合、運動量∂Ｌ/∂φ(ドット)＝ｍｒ^2φ(ドット)が運動の定数になるそうなのですが・・・。

φに依存しない理由を教えてください。お願いします。

回答No.2

tomtom_ · ベストアンサー

φに依存しないのは，φが含まれていないからじゃないでしょうか．ラグラジアンの運動エネルギーの式を見ると，

ｒ(ドット)＝－ｄφ(ドット)sinφ

じゃなくて，

ｒ(ドット)＝√（ｒ(ドット)^2＋ｒ^2φ(ドット)^2）

を使っているように見えます．
だから，ｒ(ドット)の式にもφは含まれていないので，φに依存しないことは理解できると思います．

お礼

ありがとうございました！非常にわかりやすかったです！

回答No.1

ojisan7

オイラーの運動方程式を解けば、すぐに求めることができると思います。
φに依存しない理由は単純です。
∂Ｌ/∂φ(ドット)=0
となるからです。

お礼

式を変形してみたら簡単に理解できました。ありがとうございます！