解析力学の問題です

質問

図のように互いに直角に交わるなめらかな斜面(水平と作る角=α,π/2-α)の上に，長さ2aの一様な棒ABがかけてある．棒が水平とθの角度でつりあっている状態について以下の問いに答えよ．
(1)斜面の交わる点Oから測った棒ABの重心Gの高さzをa,α,θを用いて表せ．
(2)仮想仕事の原理により，つり合いの状態にあるときのθとαの関係を示せ．
(3)このつり合いが，安定化か不安定化かを調べよ．

この問題で(1)はasinθ+2acos(α+θ)cosαと求まりました．この答えはあっているでしょうか？
また(2)を解くために仮想仕事の原理を利用しろと書いてありますが，ここでは保存力しか働いていないのでポテンシャルエネルギーについて考えました．δU＝0となればよいのですから，(1)の答えが0になればいいということですよね？
θからδθだけ変位させたとすれば，asinδθ+2acos(α+δθ)cosα=aδθ+2acosα-2asinαδθ=0となります．
ここで2acosαの項にδθがかかっていないため，この方程式が解けません．もしかかっていれば，題意のようにθとαだけの関係を示せるのですが…．

私の解き方が違うのでしょうか？
またもしよろしければ(3)の示し方も教えていただけると嬉しいです．よろしくお願いします

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

(1)
∠AOB = π/2より点OはABを直径とする円周上の点である．
したがって
GO = a.
そうすると△AGOは
GA = GO = a
の二等辺三角形であるからOGが水平面となす角は
2α + θ.

∴z = OG sin(2α + θ) = a sin(2α + θ).

# 添付図参照．

(2)
棒に働いている力は重力と，斜面からの反力．
このうち，拘束力でないのは重力のみ．したがって仮想仕事は
δW = Z δz = -m g a cos(2α + θ) δθ.

仮想仕事の原理より
δW -m g a cos(2α + θ) δθ = 0.
∴2α + θ = π/2.

(3)
δU = -δW = m g a cos(2α + θ) δθ

dU/dθ = m g a cos(2α + θ)

# 今の場合，1変数なので，偏微分記号ではなく，常微分の記号を使いました．

d^2 U/dθ^2 = -m g a sin(2α + θ).

d^2 U/dθ^2|_{2α+θ=π/2} = -m g a < 0.

つりあいの位置でd^2 U/dθ^2 < 0であるということは，つりあいの位置でポテンシャルUが極大であるということであり，このつりあいは不安定である．

...だと思います．計算間違ってたらすみません．

お礼

詳しく説明をしていただきありがとうございました

回答No.2

heboiboro

＞asinθ+2acos(α+θ)cosα
これは asinθ+2acos(α+θ)sinα の間違いではないでしょうか。
加法定理を使うと #1の方の asin(θ+2α) と同じであることが分かります。

お礼

おっしゃる通りですね、ありがとうございました