接平面の方程式

質問

x^(1/2)+y^(1/2)+z^(1/2)=4 (1,1,4)

xlogy-logz=0 (x=1,y=e)

この問題がわからないです
解説をお願いします

回答No.3

ereserve67 · ベストアンサー

z=f(x,y)上の点(a,b,f(a,b))における接平面の方程式は

z-f(a,b)={∂f(a,b)/∂x}(x-a)+{∂f(a,b)/∂y}(y-b)

これに当てはめることです．

前半：√z=4-√x-√y,z=(4-√x-√y)^2=f(x,y)であるから，

∂f/∂x=2(4-√x-√y)∂(4-√x-√y)/∂x

=2(4-√x-√y){-(1/2)/√x)=-(4-√x-√y)/√x=-2

∂f/∂y=2(4-√x-√y)∂(4-√x-√y)/∂y

=2(4-√x-√y){-(1/2)/√y)=-(4-√x-√y)/√y=-2

∴z-4=-2(x-1)-2(y-1)

2x+2y+z-8=0（答）

後半：logz=xlogy=logy^x,z=y^x (1,e,e)

∂logz/∂x=∂xlogy/∂x,(1/z)∂z/∂x=logy

∂z/∂x=zlogy=eloge=e

∂logz/∂y=∂xlogy/∂y,(1/z)∂z/∂x=x/y

∂z/∂x=zx/y=e・1/e=1

∴z-e=e(x-1)+1・(y-e)

ex+y-z-e=0（答）

回答No.2

misumiss

すみません.
正確には, 求めた外積に, 接点の x-座標と y-座標の値を代入したものが, 求める接平面の法線ベクトルです.

回答No.1

misumiss

解析学の教科書に, 解き方が載っていると思います.
どちらの問題も,
z = f(x, y)
という形に変形する程度なら, できるはずです.
そうして,
r = (x, y, f(x, y)) を求めたら,
∂r/∂x と ∂r/∂y を計算して, 両者の外積を求めます.
それが, 求める接平面の法線ベクトルです.
あとは, 高校生でもできます.
自分で答えを出してください.