空間ベクトルの一次独立（＝線形独立）の意味は、それ

質問

ぞれのベクトルが０じゃなくて、それぞれ互いに平行じゃない（それぞれ互いに方向が違う）ってことなんですか？

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

そうではありません．３つの０でない空間のベクトルが同一平面上に互いに平行でないように存在できます．でも，この３つのベクトルはこの平面上にない空間ベクトルを表すことができません．

平面上の２つのベクトルの一次独立は，２つのベクトルが三角形（または平行四辺形）をつくると言い換えてもよいです．

これを空間ベクトルでいうと，３つのベクトルが一次独立ということはそれらが四面体（または平行六面体）と言い換えてもよいです．

それらの三つのベクトルの始点をOにしてOA,OB,OCであるとしましょう．

四面体OABCができるにはまず三角形OABができないといけない．それは平面OAB上でのOA,OBの平面ベクトルとしての一次独立と同じことです．つまり，OA,OBは０でなく平行でない．

つぎにOCがもし平面OAB上にあると，四面体OABCはできず，OCはOAとOBの一次結合で表せてしまいます．よってCは平面OAB上になければよいです．

まとめると，

「OAとOBはある平面を定め，OCはその平面上にない」

といえます．これはABCを入れ替えても言えるので，平等な言い方

☆「OA,OB,OCは同一平面上にない」または「O，A，B，Cは同一平面上にない」

と呼ばれることが多いのです．

☆が３つのベクトルの１次独立を幾何学的に述べたものです．これが代数的な定義

★「sOA+tOB+uOC=0⇒s=t=u=0」

に等しいことは次のようにして言えます．★を否定すると，

「sOA+tOB+uOC=0となる(s,t,u)≠(0,0,0)が存在する」

例えばu≠0とするとOC=λOA+μOBとかけてO,A,B,Cは同一平面上にあると言えます．これは☆の否定です．

お礼

そうなんですか。

＞☆「OA,OB,OCは同一平面上にない」または「O，A，B，Cは同一平面上にない」

と呼ばれることが多いのです．

☆が３つのベクトルの１次独立を幾何学的に述べたものです．これが代数的な定義

★「sOA+tOB+uOC=0⇒s=t=u=0」

に等しいことは次のようにして言えます．★を否定すると，

「sOA+tOB+uOC=0となる(s,t,u)≠(0,0,0)が存在する」

例えばu≠0とするとOC=λOA+μOBとかけてO,A,B,Cは同一平面上にあると言えます．これは☆の否定です。

これって命題の真偽とその否定の真偽が一致するのを使ってるんですよね。

ありがとうございました。

回答No.3

178-tall

>「それぞれ互いに方向が違う」だと、何とか言い抜けられそうです。

かなり苦しい「言い抜け」になりそう。

3 次元空間の場合なら？
互いに「線形独立」なベクトルの最大個数は 3 個で頭打ち。

　(1) 3 個のうちの任意のペアが「平行じゃなく」
　　　(確かに「互いに方向が違う」ようだ)
　(2) ペアから外れた 1 個が、ペアを含む平面上にない。
　　　(かなりの強弁かな？)

…のが「それぞれ互いに方向が違う」ということだ、と強弁せねばなりません。

お礼

そういえば一応okなんですね。

☆「OA,OB,OCは同一平面上にない」または「O，A，B，Cは同一平面上にない」
っていえば完璧なんですね。

ありがとうございました。

回答No.2

178-tall

>空間ベクトルの一次独立（＝線形独立）の意味は、それぞれのベクトルが０じゃなくて、それぞれ互いに平行じゃない（それぞれ互いに方向が違う）ってことなんですか？

ことばの微妙な食い違いですかね？

「互いに平行じゃない」だと、3 ベクトルが同一平面上にある場合を排除できない。

「それぞれ互いに方向が違う」だと、何とか言い抜けられそうです。

お礼

空間ベクトルの一次独立（＝線形独立）の意味は、それぞれのベクトルが０じゃなくて、それぞれ互いに方向が違うってこと。
って言えばあってたんですね。

ありがとうございました。