微分方程式に関する質問です。

質問

微分方程式に関する質問です。

y"+ay'+by=Q(x)

について、Q(x)が多項式、三角関数、指数関数の積である場合(例：2xe^2x, 3xsinx, e^2x cosx)の一般解の求め方を教えて下さい。

質問者は頭が足りない馬鹿ですので、丁寧に回答していただけると助かります。

回答No.1

ereserve67

（☆）y''+ay'+bｙ=Q(x)

まず同次形と呼ばれる

（★）y''+ay'+by=0

の解を求めます．それは特性方程式

λ^2+aλ+b=0

の2解をα，βとして

・α≠βならe^{αt},e^{βt}
・α＝βならe^{αt},te^{αt}

であることが知られています．代入すると分かります．

これら二つの解を基本解と言います．それをy_1,y_2と書きましょう．すると，未知関数C_1(x),C_2(x)を導入して

y=C_1(x)y_1+C_2(x)y_2

が☆の解になるようにC_1(x),C_2(x)を求めます．これは１階の線形微分方程式の時に使われる手法でやはり定数変化法とよばれます．☆の左辺をL(y)とかくと，

L(C_1y_1+C_2y_2)=C_1L(y_1)+C_2L(y_2)+(C_1'y_1+C_2'y_2)'+a(C_1'y_1+C_2'y_2)+C_1'y_1'+C_2'y_2'

となり，y_1,y_2は★の基本解だからL(y_1)=0,L(y_2)=0となります：

L(C_1y_1+C_2y_2)=(C_1'y_1+C_2'y_2)'+a(C_1'y_1+C_2'y_2)+C_1'y_1'+C_2'y_2'

これが☆となるためには右辺がQ(x)となればよく，そのためにはC_1,C_2を

C_1'y_1+C_2'y_2=０
C_1'y_1'+C_2'y_2'=Q(x)

となるようにとればよいことが分かります．これを(C_1',C_2')についての連立一次方程式とみれば２次の行列の理論から（あるいは直接に）

C_1'=-y_2Q/W
C_2'=y_1Q/W

ここに

W=y_1y_2'-y_1'y_2

をロンスキー行列式と呼びます．したがって

C_1=-∫{y_2Q(x)/W}dx
C_2=∫{y_1Q(x)/W}dx

となります．例えばa=0,b=1のときy_1=cos(x),y_2=sin(x)ととれるのでW=cos^2(x)+^2sin(x)=1であり

C_1=-∫Q(x)sin(x)dx
C_2=∫Q(x)cos(x)dx

となります．するとy=C_1(x)y_1+C_2(x)y_2は☆の特殊解になります．一般解は同次形★の一般解Ay_1+By_2をつけてやればよいことになります．

まとめると，☆の解は★の基本解y_1,y_2と★の一般解Ay_1+By_2を使って

y=Ay_1+By_2+(-∫{y_2Q(x)/W}dx)y_1+(∫{y_1Q(x)/W}dx)y_2 (W=y_1y_2'-y_1'y_2；A,Bは任意定数)

となります．a=0,b=1の例では

y=Acos(x)+Bsin(x)-cos(x)∫^xQ(t)sin(t)dt+sin(x)∫^xQ(t)cos(t)dt

となります．