５の倍数にならない条件

質問

1500!/{n!(1500 - n)!} が 5 の倍数にならない整数 n は
0, 125, 250, 625, 750, 875, 1250, 1375, 1500
その他にはありませんか
あと高校生でこれを30分を目安に解ける方法を知っていたら教えてください（こちらの方は偶然知っている方だけにお尋ねします）

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

はい、この９個だけです。
高校生に分かるかどうか知りませんが、次のようにすれば簡単。

1500 = 125×12
Y = X^125 として、
(X+1)^125 ≡ Y +1 mod 5
(X+1)^1500 ≡ (Y +1)^12 mod 5
よって、(Y+1)^12 のうち、5で割り切れない係数を持つ項を探せばよい。

お礼

正解していて安心しました。
合同式が苦手なので体 F = Z/5Z 上の多項式環 F[X] で考えたのですが、大きな違いはないようですので。
とても分かり易く解説してくださって、ありがとうございました。
高校数学では無理っぽいですが、締め切るのはもう少しだけ待たせてください。

補足

いくら考えても高校数学では解決できないようです。
今後もよろしくお願いします。

回答No.3

info22_

A#2さんに同じく
お書きのnですべてです。

無料の数式処理ソフトwxMaximaでプログラム

fpprec:96$load(functs)$
for n:0 thru 1500 do (m:mod(combination(1500,n),5),if m#0 then print(n))$

を実行すれば
全てのnが求められます。

お礼

回答をくださりありがとうございます。
難しそうなプログラムで高校生には無理かもしれませんが、勉強してみます。