平方根を外してみましたが、計算が・・・。

質問

（問題）
整式Ｐ ＝ √a^2-2a+1 ＋ √a^2-4a+4 を簡単な式で書く時、次の式でＰが表される時のaの値の範囲は？
(1)Ｐ＝-2a+3の時
答え　　a<1
(2)Ｐ＝1の時
答え　　1≦a≦2
(3)Ｐ＝2a-3の時
答え　　a≧2

以下の通り、計算してみました。
まず、平方根を外しました。
Ｐ ＝ √(a-1)^2 + √(a-2)^2
　 ＝ a-1+a-2
　 ＝ 2a-3
Ｐが分かったので、Ｐを代入しました。
例えば(1)の場合です。
2a-3=-2a+3
2a+2a=3+3
4a=6
a=6/4=3/2
と、計算はしたのですが、解答と違います。
(2)や(3)もこのような感じで解いていこうとしたのですが、解答と違う答えが出てくるのです。
どこがどう間違ってこのような答えが出てきてしまうのか分からない為、困っております。
正しい解答を教えて下さい。宜しくお願い致します。

回答No.1

aqfe · ベストアンサー

＞Ｐ ＝ √(a-1)^2 + √(a-2)^2
＞　 ＝ a-1+a-2
＞　 ＝ 2a-3

「a-1」や「a-2」が負のときもありますので、
ここの変形は

Ｐ ＝ √(a-1)^2 + √(a-2)^2
　 ＝ |a-1| + |a-2|

と、絶対値となります。
あとはa<1,1≦a≦2,2<aで場合分け。

補足

因数分解して（　　）^2にして、^2をとれば平方根が外れると思ったのですが、そうではないのですね。
（√9=√3^2=3のような感じで考えていました）
絶対値を外していかないといけないのですね。

(2)Ｐ＝１の時
答え　1≦a≦2
の詳しい解説を教えて下さい。宜しくお願い致します。

回答No.7

aqfe

＃４です。

＞|a-1| + |a-2| + |a-3|
この場合は
「a＜1」、「1≦a＜2」、「2≦a＜3」、「3≦a」です。
「＜」と「≦」が混在してますが、どちらに含んでも構いません。

つまり「a≦1」、「1＜a≦2」、「2＜a≦3」、「3＜a」とか
「a＜1」、「1≦a≦2」、「2＜a＜3」、「3≦a」とかでもＯＫ（←こちらのはあまり見栄えがよくないのであまりオススメできないです）

「a＜1」、「1＜a＜2」、「2＜a＜3」、「3＜a」ではa=1,a=2,a=3を含まないのでダメ。
「a≦1」、「1≦a≦2」、「2≦a≦3」、「3≦a」はＯＫな筈ですが、範囲が重複しているので、正直オススメできません、参考までに。。。

結局のところ、"絶対値符号の中が０になるところ"が必ず区切りになります。

＞|a-1| + |a-2| + |a-3|

ではa=1,a=2,a=3のところが区切りですね。

それと、＃６の方の回答を見てはじめて気がついたのですが、問いは「"次の式でＰが表される時"のaの値の範囲」であって「aの値によって場合分けしてＰを簡単にしなさい」ではなかったですね、すみません。
この点の答え方については＃６の方の通りです。

お礼

解説ありがとうございます。
とにかく「正解」を書ける事が今の私の課題です。
本当に数学が解けなくて、困っています（涙）・・・。
数学が解ける方が羨ましいです。

回答No.6

debut

先に申しましたように、この問題ではＰを簡単にするという普通にある
問題とはちがって、「はじめにＰ＝１が与えられていた」わけですから、
｜ａ－１｜＋｜ａ－２｜＝１となるａを求めることになるので、ａ＝１，
ａ＝２、および１＜ａ＜２となるのです。

＞どこに注意すればa=2の吟味が必要であると気がつくのでしょうか？
　「はじめにＰ＝１が与えられていた」という点です。

＞絶対値になった時に式をみて、「a=2」というのがひらめくのですか？
　厳密に言えば、式｜ａ－１｜＋｜ａ－２｜＝１を解いてみて、というこ
　とになります。

お礼

解説ありがとうございました。
なんとなく解ったような気がします。
何故、“なんとなく・・・”なのかは、まだ１人で問題を解いていける自信がないからなのです。こんなに丁寧に解答していただいているのに、すみません。
でも問題に慣れれば、もっと理解できると思います。
もう一度、解いてみます。

回答No.5

debut

Ｎｏ３です。
　申し訳ありませんでした。私の回答に不備があったことをお詫びします。

　正の数を０以上の数（≧０）、負の数を０より小さい数（＜０）ととら
　えたとき、
　｜ａ－１｜＋｜ａ－２｜　の絶対値を外すには
　　・ａ＜１　　　（ａ－１もａ－２も負の数）
　　・１≦ａ＜２　（ａ－１は正の数、ａ－２は負の数）
　　・ａ≧２　　　（ａ－１もａ－２も正の数）
　と場合分けするのですが、この問題の（２）のＰ＝１と与えられる場合
　はａ＝２の吟味が必要であることの説明が足りませんでした。
　「ａ＝２のとき、Ｐ＝√(２－１)^2＋√(２－２)^2＝１
　　したがって、ａ＝２も（２）の場合のａの範囲に含めてもよい、と
　　いうことになります。
　　それで、（２）の答えは１≦ａ≦２となります。」

ほんとにすみませんでした。不明な点がありましたらどうぞ。

補足

回答ありがとうございます。
どのようにして正解が導き出されたのかは、回答を拝見してわかりました。
a-1は正の数、a-2は負の数で計算したら1なので、途中の1≦a<2というところまでは、わかりやすいのですが、どこに注意すればa=2の吟味が必要であると気がつくのでしょうか？
a=2は計算したらＰ＝１になる事はわかるのですが・・・。絶対値になった時に式をみて、「a=2」というのがひらめくのですか？

回答No.4

aqfe

回答が遅くなってしまいましたが…

＞(2)Ｐ＝１の時
＞答え　1≦a≦2

1≦a≦2のときは
　|a-1| = a-1　　　（「a-1」が正なので）
　|a-2| = -(a-2)　　（「a-2」が負なので）
となります。

なので、
P = |a-1| + |a-2|
　= (a-1) - (a-2)
　= 1
です。

この問題のように絶対値の符号が２つ並ぶと、それに応じて場合分けが必要になります。
この問題では、

　　　　　　|a-1|　　|a-2|
a<1　　　　-(a-1)　　-(a-2)
1≦a≦2　　　a-1　　　-(a-2)
2<a　　　　　a-1　　　a-2

と、絶対値の中の符号が逆転するところが２つ(a=1とa=2)あるので、計３つの場合分けが必要になるのです。

蛇足ですが、問題が
|a-1| + |a-2| + |a-3|
だったら、同様の理由で４つ場合分けする必要があります。

補足

回答ありがとうございます。
参考に、|a-1|+|a-2|+|a-3|の場合分けも教えていただけませんか？

回答No.3

debut

平方根の外し方に問題があります。
　例えば√(3)^2なら２乗と根号を同時に消して＝３とできますが、
　√(-3)^2では同じように＝－３とはできません。正しくは＝－(－３)
　から＝３となります。つまり、根号の中で２乗されているその数が、
　正の数ならそのまま、負の数なら－をかけて外さないとなりません。
　そう、「絶対値の外し方」と同じなのです。
　　√ａ^2　・・１．ａ≧０なら　＝ａ
　　　　　　　　２．ａ＜０なら　＝－ａ　　となります。

この問題は普通とは逆な感じなので、普通に根号を外すことから答えを
求めていく方が解りやすいかと思います。（※「普通とは逆」といった
は、Ｐを求める問題はよくある、という意味です）

　Ｐ＝√(a-1)^2＋√(a-2)^2
　　で、a-1　はａ＝１を境に正・負が分かれ、a-2　はａ＝２を境に正・
　　負が分かれることが解るかと思います。そこで場合分け。
　　（１）ａ＜１のとき、ａ－１もａ－２も負の数だからどちらも－１を
　　　　　かけて√を外す。
　　　　　　　∴Ｐ＝・・・・
　　（２）１≦ａ＜２のとき、ａ－１は正だからそのままで、ａ－２は負
　　　　　だから－１をかけて√を外す。
　　　　　　　∴Ｐ＝・・・・
　　（３）ａ≧２のとき、ａ－１もａ－２も正の数だからそのまま√を
　　　　　外す。
　　　　　　　∴Ｐ＝・・・・
　と、この√の外し方で出たＰの式からたどれば、ａのとりうる値の範囲
　が求められると思います。

補足

確かによく見かける問題とは、逆になったような問題ですね。
(1)と(3)は意味がわかりましたが、(2)がよくわかりません。（答えは　1≦a≦2　です）(2)の詳しい解説を宜しくお願い致します。

回答No.2

1582

√a^２＝aじゃ、なかったっけ
そのまま+-するだけでいいと思うが…