数学IIIの微分の質問です

質問

｛ｘ－ルート(ｘ＾２－１)}^2　の微分がわかりません。合成関数の公式などを使って解いてもらえませんか？よろしくお願いいたします

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

x≧1と仮定します．結果はx≦-1でも成り立ちます．

すると，t≧0として

x=(e^t+e^{-t})/2=cosh(t)(≧1)

とおくことができます．

√(x^2-1)=(e^t-e^{-t})/2=sinh(t)≧0

であるから，

f(x)=｛ｘ－ルート(ｘ＾２－１)}^2

とおくと，

f(x)={cosh(t)-sinh(t)}^2

=(e^{-t})^2=e^{-2t}

xで微分すると合成関数の微分公式などにより

df/dx=(df/dt)(dt/dx)

=(de^{-2t}/dt)/(dx/dt)

=2e^{-2t}/{dcosh(t)/dt}

=-2e^{-2t}/sinh(t)

=-2f(x)/√(x^2-1)

=-2{x-√(x^2-1)}^2/√(x^2-1)

※cosh(t),sinh(t)は双曲線関数とよばれ，

cosh^2(t)-sinh^2(t)=1

dcosh(t)/dt=sinh(t)

dsinh(t)/dt=cosh(t)

などが成り立ちます．ここでは定義式

cosh(t)=(e^t+e^{-t})/2

sinh(t)=(e^t-e^{-t})/2

を表記のために利用しているくらいです．

お礼

ありがとうございました(^_^.)

回答No.1

info22_

f(x)={x-√(x^2-1)}^2

f'(x)=2{x-√(x^2-1)}*{x-√(x^2-1)}'
=2{x-√(x^2-1)}*[1-{(x^2-1)^(1/2)}']
=2{x-√(x^2-1)}*[1-(1/2){(x^2-1)^(-1/2)}(x^2-1)']
=2{x-√(x^2-1)}*[1-(1/2){(x^2-1)^(-1/2)}(2x)]
=2{x-√(x^2-1)}*{1-x(x^2-1)^(-1/2)}
=2{x-√(x^2-1)}*{√(x^2-1)-x}/√(x^2-1)
=-2[{x-√(x^2-1)}^2]/√(x^2-1)
=-2{2x^2-1-2x√(x^2-1)}/√(x^2-1)
=-2{(2x^2-1)√(x^2-1) -2x(x^2-1)}/(x^2-1)
=2{2x(x^2-1)-(2x^2-1)√(x^2-1)}/(x^2-1)

お礼

ありがとうございました(^_^.)